【題目】如圖,在長方體ABCDA1B1C1D1中,AB=AA1=1,E為BC中點(diǎn).
(1)求證:C1D⊥D1E;
(2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)M,使得BM∥平面AD1E?若存在,求的值,若不存在,說明理由;
(3)若二面角B1AED1的大小為90°,求AD的長.
【答案】見解析
【解析】解:(1)證明:以D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,
設(shè)AD=a,則D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,1,0),B1(a,1,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1),E,∴=(0,-1,-1),=,
∴C1D⊥D1E。
(2)設(shè)=h,則M(a,0,h),
∴=(0,-1,h),=,=(-a,0,1),
設(shè)平面AD1E的法向量為n=(x,y,z),
∴平面AD1E的一個(gè)法向量為n=(2,a,2a),
∵BM∥平面AD1E,
∴⊥n,即·n=2ah-a=0,∴h=。
即在AA1上存在點(diǎn)M,使得BM∥平面AD1E,此時(shí)=。
(3)連接AB1,B1E,設(shè)平面B1AE的法向量為m=(x′,y′,z′),=,=(0,1,1),
∴平面B1AE的一個(gè)法向量為m=(2,a,-a).
∵二面角B1AED1的大小為90°,
∴m⊥n,∴m·n=4+a2-2a2=0,
∵a>0,∴a=2,即AD=2。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】上周某校高三年級(jí)學(xué)生參加了數(shù)學(xué)測試,年部組織任課教師對(duì)這次考試進(jìn)行成績分析.現(xiàn)從中抽取80名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示.
(Ⅰ)估計(jì)這次月考數(shù)學(xué)成績的平均分和眾數(shù);
(Ⅱ)假設(shè)抽出學(xué)生的數(shù)學(xué)成績在段各不相同,且都超過94分.若將頻率視為概率,現(xiàn)用簡單隨機(jī)抽樣的方法,從95,96,97,98,99,100這6個(gè)數(shù)字中任意抽取2個(gè)數(shù),有放回地抽取3次,記這3次抽取中恰好有兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的次數(shù)為,求的分布列和期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中, 平面, , 平分, 為的中點(diǎn), , .
(1)證明: 平面.
(2)證明: 平面.
(3)求直線與平面所成的角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知長方形ABCD中,AB=1,AD=,F(xiàn)將長方形沿對(duì)角線BD折起,使AC=a,得到一個(gè)四面體ABCD,如圖所示.
(1)試問:在折疊的過程中,異面直線AB與CD,AD與BC能否垂直?若能垂直,求出相應(yīng)的a值;若不垂直,請(qǐng)說明理由.
(2)當(dāng)四面體ABCD的體積最大時(shí),求二面角ACDB的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ;
(1)若f(x)的定義域?yàn)?/span> (-∞,+∞), 求實(shí)數(shù)a的范圍;
(2)若f(x)的值域?yàn)?/span> [0, +∞), 求實(shí)數(shù)a的范圍
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求證: ;
(2)當(dāng)且時(shí),求函數(shù)的最小值;
(3)若,證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列是關(guān)于函數(shù)y=f(x),x∈[a,b]的幾個(gè)命題:
①若x0∈[a,b]且滿足f(x0)=0,則(x0,0)是f(x)的一個(gè)零點(diǎn);
②若x0是f(x)在[a,b]上的零點(diǎn),則可用二分法求x0的近似值;
③函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函數(shù)f(x)的零點(diǎn);
④用二分法求方程的根時(shí),得到的都是近似值.
那么以上敘述中,正確的個(gè)數(shù)為 ( )
A. 0 B. 1 C. 3 D. 4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司試銷一種成本單價(jià)為500元/件的新產(chǎn)品,規(guī)定試銷時(shí)銷售單價(jià)不低于成本單價(jià),又不高于800元/件.經(jīng)試銷調(diào)查,發(fā)現(xiàn)銷售量(件)與銷售單價(jià)(元/件)可近似看作一次函數(shù)的關(guān)系(如圖所示).
(1)根據(jù)圖象,求一次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)設(shè)公司獲得的毛利潤(毛利潤=銷售總價(jià)—成本總價(jià))為元. 試用銷售單價(jià)表示毛利潤并求銷售單價(jià)定為多少時(shí),該公司獲得最大毛利潤?最大毛利潤是多少?此時(shí)的銷售量是多少?
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