Question

已知橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁、F₂分別為其上、下兩個焦點，F(xiàn)₁（0，1），F(xiàn)₂（0，-1），過F₂斜率為1的直線與橢圓交于A、B兩點，且|AB|=

24

7

．
（1）求橢圓的方程；
（2）C、D為橢圓的上、下頂點，是否存在直線y=m，使得該直線上的任意點P（x₀，m）滿足PC、PD與橢圓的另一交點M、N，MN的連線恒過F₂．

Answer 1

考點：橢圓的應(yīng)用,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,作圖題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意做出圖象，借助圖象可知，a²=b²+1，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及兩點間的距離公式可得，（x₁-x₂）²=（

2b2

2b2+1

）²-4

-b4

2b2+1

=（

24

7

•

2

2

）²，從而可得

8b4(b2+1)

(2b2+1)2

=

288

49

，進而求出橢圓的方程．
（2）假設(shè)存在，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，解出點M的坐標(biāo)為（-

12(m-2)x0

3(m-2)2+4 x 2 0

，-

12(m-2)2

3(m-2)2+4 x 2 0

+2），點N的坐標(biāo)為（

12(m+2)x0

3(m+2)2+4 x 2 0

，

12(m+2)2

3(m+2)2+4x02

-2），由M、N、F₂，三點共線可知斜率相等，從而得到-

12(m-2)x0

3(m-2)2+4 x 2 0

•（

12(m+2)2

3(m+2)2+4x02

-2+1）-

12(m+2)x0

3(m+2)2+4 x 2 0

•（-

12(m-2)2

3(m-2)2+4 x 2 0

+2+1）=0對任意x₀都成立，從而解出m．

解答： 解：（1）如右圖：由題意知，c=1，則a²=b²+1，
過F₂斜率為1的直線方程為y=x-1，與橢圓方程

y2

a2

+

x2

b2

=1聯(lián)立消y可得，

(x-1)2

b2+1

+

x2

b2

=1，即（2b²+1）x²-2b²x-b⁴=0，
設(shè)A、B兩點的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，則
x₁+x₂=

2b2

2b2+1

，x₁x₂=

-b4

2b2+1

，又∵|AB|=

24

7

，
則（x₁-x₂）²=（

2b2

2b2+1

）²-4

-b4

2b2+1

=（

24

7

•

2

2

）²，
即

8b4(b2+1)

(2b2+1)2

=

288

49

，
解得，b²=3，則a²=b²+1=4；
則橢圓的方程為

y2

4

+

x2

3

=1．
（2）假設(shè)存在直線y=m，使得該直線上的任意點P（x₀，m）滿足PC、PD與橢圓的另一交點M、N，MN的連線恒過F₂．
C（0，2），D（0，-2），
則直線CP的方程為y=

m-2

x0

x+2，與

y2

4

+

x2

3

=1聯(lián)立消去y化簡可得．
（3(

m-2

x0

)2+4）x²+12

m-2

x0

x=0，
解得，x=0或x=-

12(m-2)x0

3(m-2)2+4 x 2 0

；
則點M的坐標(biāo)為（-

12(m-2)x0

3(m-2)2+4 x 2 0

，-

12(m-2)2

3(m-2)2+4 x 2 0

+2），
同理，點N的坐標(biāo)為（

12(m+2)x0

3(m+2)2+4 x 2 0

，

12(m+2)2

3(m+2)2+4x02

-2），
則由M、N、F₂，三點共線可知，
-

12(m-2)x0

3(m-2)2+4 x 2 0

•（

12(m+2)2

3(m+2)2+4x02

-2+1）-

12(m+2)x0

3(m+2)2+4 x 2 0

•（-

12(m-2)2

3(m-2)2+4 x 2 0

+2+1）=0，
即：

12(m-2)x0

3(m-2)2+4 x 2 0

•（

12(m+2)2

3(m+2)2+4x02

-1）-

12(m+2)x0

3(m+2)2+4 x 2 0

•（

12(m-2)2

3(m-2)2+4 x 2 0

-3）=0，
即x₀[9（m+2）²（m-2）-3（m-2）²（m+2）-4x₀²[（m-2）-3（m+2）]]=0，
∵x₀任意，則9（m+2）²（m-2）-3（m-2）²（m+2）=0且（m-2）-3（m+2）=0，
解得，m=-4．

點評：本題考查了橢圓的方程的求法解三點共線問題，同時考查了圓錐曲線與直線的交點問題及恒成立問題，屬于難題．