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18.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,Sn=2n-1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足b1=1,2n+12n=an+1,求數(shù)列{1n+n1}的前n項(xiàng)和Tn

分析 (1)利用遞推關(guān)系即可得出;
(2)由2n+12n=an+1,可得:bn+1-bn=n.利用“累加求和”與“裂項(xiàng)求和”即可得出.

解答 解:(1)∵a1=1,Sn=2n-1.
∴當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1.當(dāng)n=1時(shí)也成立.
∴an=2n
(2)∵2n+12n=an+1,
2n+1n=2n,
∴bn+1-bn=n.
∴bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1
=(n-1)+(n-2)+…+1+1
=nn12+1.
1n+n1=1nn12+1+n1=21n1n+1
∴數(shù)列{1n+n1}的前n項(xiàng)和Tn=2[112+1213+…+1n1n+1]
=211n+1
=2nn+1

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“累加求和”與“裂項(xiàng)求和”、遞推關(guān)系,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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