Question

已知直線l：mx-y+1-m=0與圓C：x²+（y-1）²=5交于A、B兩點；
（Ⅰ）若，求直線l的傾斜角；
（Ⅱ）求弦AB的中點M的軌跡方程；
（Ⅲ）圓C上是否存在一點P使得△ABP為等邊三角形？若存在，求出P點坐標；不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）圓心C（0，1）到直線的距離，
所以，解得，
所以，傾角；…（4分）
（Ⅱ）直線l過定點N（1，1），設(shè)動點M（x，y），則，
所以（x，y-1）•（x-1，y-1）=0，化簡得；…（9分）
（Ⅲ）不存在．假設(shè)存在符合條件的P點，則由△ABP是等邊三角形知，
其外接圓與內(nèi)切圓的圓心均C（0，1），外接圓半徑，
內(nèi)切圓半徑r等于圓心（0，1）到直線AB的距離，
又由等邊三角形的性質(zhì)得，所以有，，m無解，故不存在這樣的點P．…（13分）
分析：（Ⅰ）直接利用，圓心到直線的距離，半徑滿足勾股定理，求出m的值，即可求直線l的傾斜角；
（Ⅱ）設(shè)出動點坐標，利用垂直關(guān)系，數(shù)量積為0，直接求弦AB的中點M的軌跡方程；
（Ⅲ）通過由△ABP是等邊三角形，其外接圓與內(nèi)切圓的圓心相同，通過外接圓半徑，內(nèi)切圓半徑r等于圓心到直線AB的距離，推出，方程無解，則不存在否則存在．
點評：本題考查軌跡方程分求法，點到直線的距離公式的應(yīng)用，直線的傾斜角的求法，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想．