Question

[文]已知圓（x-2）²+（y-1）²=，橢圓b²x²+a²y²=a²b²（a＞b＞0）的離心率為，若圓與橢圓相交于A、B，且線段AB是圓的直徑，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：先利用條件把橢圓的方程轉(zhuǎn)化，再利用圓與橢圓相交于A、B，且線段AB是圓的直徑求出關(guān)于b和點(diǎn)A、B坐標(biāo)之間的方程，解方程可得b值，進(jìn)而求出橢圓的方程．
解答：解：∵e===，∴a²=2b²．
因此，所求橢圓的方程為x²+2y²=2b²，
又∵AB為直徑，（2，1）為圓心，即（2，1）是線段AB的中點(diǎn)，
設(shè)A（2-m，1-n），B（2+m，1+n），
則⇒
⇒得2b²=16．
故所求橢圓的方程為x²+2y²=16
點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)圓與橢圓的綜合考查．在圓中，如果一線段是直徑那么應(yīng)有兩條結(jié)論．一是過圓心，二是長(zhǎng)為半徑的二倍..