Question

已知?jiǎng)訄AM與⊙O₁：x²+（y-1）²=1和⊙O₂：x²+（y+1）²=4都外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)動(dòng)圓的半徑為r，然后根據(jù)動(dòng)圓M與⊙O₁：x²+（y-1）²=1和⊙O₂：x²+（y+1）²=4都外切，得|MO₂|=2+r，|MO₁|=1+r，兩式相減消去參數(shù)r，則滿足雙曲線的定義，問(wèn)題解決．

解答： 解：設(shè)動(dòng)圓的半徑為r，
而圓x²+（y-1）²=1的圓心為O₁（0，1），半徑為1；
圓x²+（y+1）²=4的圓心為O₂（0，-1），半徑為2．
依題意得|MO₂|=2+r，|MO₁|=1+r，
則|MO₂|-|MO₁|=（2+r）-（1+r）=1＜|O₁O₂|，
所以點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)₁、O₂為焦點(diǎn)的雙曲線的上支，且2a=1，c=1，
∴a=

1

2

，b=

3

2

，
∴動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是

y2

1 4

-

x2

3 4

=1（y≥

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題以兩圓的位置關(guān)系為載體，考查雙曲線的定義，考查軌跡方程，確定軌跡是雙曲線是關(guān)鍵．