Question

2．極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy有相同的長度單位，以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=8cosθ．設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點，弦長|AB|=$\frac{32}{3}$．

Answer 1

分析 曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=8cosθ，即ρ²sin²θ=8ρcosθ，利用ρ²=x²+y²，x=ρcosθ即可化為直角坐標(biāo)方程．直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），化為標(biāo)準(zhǔn)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}m}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}m}\end{array}\right.$，代入曲線C的直角坐標(biāo)方程可得：3m²-16m-64=0，利用|AB|=|m₁-m₂|=$\sqrt{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}-4{m}_{1}{m}_{2}}$即可得出．

解答 解：曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=8cosθ，即ρ²sin²θ=8ρcosθ，化為直角坐標(biāo)方程：y²=8x．
直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），化為標(biāo)準(zhǔn)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}m}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}m}\end{array}\right.$，代入曲線C的直角坐標(biāo)方程可得：3m²-16m-64=0，
∴m₁+m₂=$\frac{16}{3}$，m₁m₂=-$\frac{64}{3}$．
∴|AB|=|m₁-m₂|=$\sqrt{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}-4{m}_{1}{m}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{16}{3}）^{2}+4×\frac{64}{3}}$=$\frac{32}{3}$．
故答案為：$\frac{32}{3}$．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線參數(shù)方程的應(yīng)用、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．