橢圓的離心率為,其左焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為
(1) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2) 若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)(不是左右頂點(diǎn)),且以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn),求證:直線過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
(1);(2)證明詳見解析,.

試題分析:本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與橢圓相交問題等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問,利用橢圓的離心率和左焦點(diǎn)到點(diǎn)P的距離列出方程組,解出基本量a,b,c,從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;第二問,用直線與橢圓聯(lián)立,消參得到關(guān)于x的方程,利用韋達(dá)定理得到,由于AB為直徑的圓過橢圓右頂點(diǎn) A2(2,0) ,所以,利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式,將前面的式子都代入,得到 或 m = -2k,經(jīng)驗(yàn)證都符合題意,則分別求出定點(diǎn)坐標(biāo),再驗(yàn)證,最終得到結(jié)論.
試題解析:(1)由題: ①
左焦點(diǎn) (-c,0) 到點(diǎn) P(2,1) 的距離為:②               2分
由①②可解得c =" 1" , a =" 2" , b 2 = a 2-c 2 = 3.                               3分   
∴所求橢圓 C 的方程為.               4分
(2)設(shè) A(x1,y1)、B(x2,y2),將 y =" kx" + m代入橢圓方程得
(4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2-12 = 0.
,,           6分
且y1 = kx1 + m,y2 = kx2 + m.
∵AB為直徑的圓過橢圓右頂點(diǎn) A2(2,0) ,所以.              7分
所以 (x1-2,y1)·(x2-2,y2) = (x1-2) (x2-2) + y1y2 = (x1-2) (x2-2) + (kx1 + m) (kx2 + m)
= (k 2 + 1) x1x2 + (km-2) (x1 + x2) + m 2 + 4
= (k 2 + 1)·-(km-2)·+ m 2 + 4 =" 0" .                        10分
整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0.∴ 或 m = -2k 都滿足 △ > 0.         12分
若 m = -2k 時(shí),直線 l 為 y = kx-2k =" k" (x-2) ,恒過定點(diǎn) A2(2,0),不合題意舍去;   13分
時(shí),直線 l 為, 恒過定點(diǎn)  .          14分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)橢圓C:的離心率,右焦點(diǎn)到直線1的距離,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點(diǎn)O作兩條互相垂直的射線,與橢圓C分別交于A、B兩點(diǎn),證明點(diǎn)O到直線AB的距離為定值,并求弦AB長度的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,F(xiàn)是中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的右焦點(diǎn),直線l:x=4是橢圓C的右準(zhǔn)線,F(xiàn)到直線l的距離等于3.
(1)求橢圓C的方程;
(2)點(diǎn)P是橢圓C上動(dòng)點(diǎn),PM⊥l,垂足為M.是否存在點(diǎn)P,使得△FPM為等腰三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

A為y軸上異于原點(diǎn)O的定點(diǎn),過動(dòng)點(diǎn)P作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)B,動(dòng)點(diǎn)P滿足|
PA
+
PO
|=2|
PB
|
,則點(diǎn)P的軌跡為( 。
A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)F(5,0)的距離和它到定直線l:x=
9
5
的距離的比是常數(shù)
5
3
,求點(diǎn)M的軌跡.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知l1與l2是互相垂直的異面直線,l1在平面α內(nèi),l2α,平面α內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P到l1與l2的距離相等,則點(diǎn)P的軌跡是( 。
A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F(0,1),離心率,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(      ).
A.B.
C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知曲線E上任意一點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)F1(-,0)和F2(,0)的距離之和為4.
(1)求曲線E的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)(0,-2)的直線l與曲線E交于C、D兩點(diǎn),且·=0(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線l的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓的離心率,分別為橢圓的長軸和短軸的端點(diǎn),中點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),且.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),求面積最大時(shí),直線的方程.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案