Question

2．如圖所示，雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，M，N為雙曲線C上兩點，且k_MN=0，若$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=$\overrightarrow{QN}$（Q在雙曲線C上），且|MN|=$\frac{{|F}_{1}{F}_{2}|}{4}$，則雙曲線C的漸近線方程為（　�。�

• A． y=$±\sqrt{2}$x
• B． y=$±\sqrt{3}$x
• C． y=±2x
• D． y=$±\sqrt{5}$x

Answer 1

分析 運用雙曲線的對稱性由條件可設(shè)N（$\frac{c}{4}$，t），由中點坐標公式可得Q的坐標，再由N，Q在雙曲線上，滿足雙曲線的方程，化簡整理，可得c²=6a²，再由a，b，c的關(guān)系，可得$\sqrt{5}$a=b，進而得到所求漸近線方程．

解答 解：由2c=|F₁F₂|=4|MN|，可得：
|MN|=$\frac{1}{2}$c，
由MN∥F₁F₂，可設(shè)N（$\frac{c}{4}$，t），
由$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=$\overrightarrow{QN}$，可得
Q為F₁N的中點，可得Q（-$\frac{3c}{8}$，$\frac{t}{2}$），
由Q，N在雙曲線上，可得$\frac{{9c}^{2}}{64{a}^{2}}$-$\frac{{t}^{2}}{4^{2}}$=1①，
$\frac{{c}^{2}}{16{a}^{2}}$-$\frac{{t}^{2}}{^{2}}$=1②，
①×4-②，可得c²=6a²，
由c²=a²+b²，可得$\sqrt{5}$a=b，
即有雙曲線的漸近線方程為y=±$\sqrt{5}$x．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，注意運用中點坐標公式和點滿足雙曲線的方程，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．