Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）當時，求函數(shù)的極值；

（2）當時，若不等式在時恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）求出函數(shù)導數(shù)，分析函數(shù)單調(diào)性即可求出函數(shù)極值；

（2）由題意原問題可轉(zhuǎn)化為在時恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導后分類討論，利用導數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性、最值，即可求解.

（1）時，，（）

所以，

令可得，

當時，，當時，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

故當時，的極大值為.

（2）當時，，

即在時恒成立，

化簡得：在時恒成立，

令，

當，時，，顯然不滿足恒成立，所以，

，，

，

當時，

又在上單調(diào)遞減，

，

在上單調(diào)遞減，

故，

所以在上恒成立.

當時，

，

又在上單調(diào)遞減，

存在唯一，使得

當時，，當時，，

所以函數(shù)在遞增，在上遞減，

又在處連續(xù)，，

在上恒成立，不符合題意，

綜上.