Question

4．設函數(shù)f（x）=axlnx+be^-x，曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=（1+e^-1）x-1-2e^-1．
（1）求a，b；
（2）求證：f（x）＞-1-2e^-2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導數(shù)，求得y=f（x）在（1，f（1））處的切線斜率和切點，由切線的方程，可得a，b的值；
（Ⅱ）求出f（x）的解析式和導數(shù)，設g（x）=e^-x+lnx+1，求出導數(shù)，再設h（x）=e^x-x，求出導數(shù)，判斷單調(diào)性，可得g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求得g（x）的一個零點，進而得到f（x）的單調(diào)性和最值，設φ（x）=xlnx+lnx+1，求得導數(shù)，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）依題意f（x）的定義域為（0，+∞），f'（x）=a（1+lnx）-be^-x，
f（1）=-e^-1，f'（1）=1+e^-1，解得a=1，b=-1．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知f（x）=xlnx-e^-x，f'（x）=e^-x+lnx+1，
設g（x）=e^-x+lnx+1，則$g'（x）=-{e^{-x}}+\frac{1}{x}=\frac{{{e^x}-x}}{{x{e^x}}}$，
設h（x）=e^x-x，則h'（x）=e^x-1＞0，所以h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以h（x）＞0，g'（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
又因為$g（{{e^{-1}}}）={e^{-{e^{-1}}}}＞0$，$g（{{e^{-2}}}）={e^{-{e^{-2}}}}-1＜0$，即g（e^-1）•g（e^-2）＜0，
所以g（x）恰有一個零點${x_0}∈（{{e^{-2}}，{e^{-1}}}）$；
即$g（{x_0}）={e^{-{x_0}}}+ln{x_0}+1=0$，即$-{e^{x_0}}=ln{x_0}+1$，
當x∈（0，x₀）時，g（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當x∈（x₀，+∞）時，g（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
所以$f（x）≥f（{x_0}）={x_0}ln{x_0}-{e^{-{x_0}}}={x_0}ln{x_0}+ln{x_0}+1$，
設φ（x）=xlnx+lnx+1，因為x∈（e^-2，e^-1），
所以$φ'（x）=1+lnx+\frac{1}{x}＞1-2+e＞0$，
所以φ（x）在（e^-2，e^-1）上單調(diào)遞增，所以$φ（{x_0}）＞φ（{{e^{-2}}}）=-1-2{e^{-2}}$，
所以$f（x）≥f（{x_0}）=φ（{x_0}）＞-1-2{e^{-2}}$，
綜上可知，f（x）＞-1-2e^-2．

點評 本題主要考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、解決與不等式有關的參數(shù)范圍和證明問題；考查運算求解能力、推理論證能力，創(chuàng)新意識；考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸思想，分類與整合思想．