Question

如圖，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，

∠BAD=∠FAB=90°，BC∥AD，BE∥AF.

（Ⅰ）證明：C、D、F、E四點(diǎn)共面：

（Ⅱ）設(shè)AB=BC=BE，求二面角A-ED-B的大小.

Answer 1

解法一：

（Ⅰ）延長DC交AB的延長線于點(diǎn)G，由BCAD得

延長FE交AB的延長線于，

同理可得

故即與G重合.

因此直線CD、EF相交于點(diǎn)G，即C、D、F、E四點(diǎn)共面.

（Ⅱ）設(shè)AB=1，則BC=BE=1，AD=2.

取AE中點(diǎn)M，則BM⊥AE，

又由已知得，AD⊥平面ABEF.故AD⊥BM，BM與平面ADE內(nèi)兩相交直線AD、AE都垂直.

所以BM⊥平面ADE.

作MN⊥DE，垂足為N，連結(jié)BN.

由三垂線定理知BN⊥ED，為二面角A―ED―B的平面角.

故

所以二面角A―DE―B的大小為

解法二：

由平面ABEF⊥平面ABCD，AF⊥AB，得FA⊥平面ABCD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB為x軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A-xyz.

（Ⅰ）設(shè)AB=a,BC=b,BE=c,則

B(a,0,0)、C（a,b,0）、E（a,0,c）.

D(0,2b,0)、F (0，0，2c).

故，從而由點(diǎn)，得EC∥FD.

故C、D、F、E四點(diǎn)共面.

（Ⅱ）設(shè)AB=1，則BC=BE=1，則

B (1,0,0)，C(1,1,0)，D（0,2,0），E(1,0,1).

在DE上取點(diǎn)M，使，則，

從而　，

又

MB⊥DE.

在DE上取點(diǎn)N，使，則

從而　

NA⊥DE.

故與的夾角等于二面角A―DE―B的平角角，

所以二面角A―DE―B的大小為