已知函數(shù)f(x)=
4x
4x+2

（1）試求f(
1
n
)+f(
n-1
n
)(n∈N*)的值；
（2）若數(shù)列{an}滿足an=f（0）+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f（1）（n∈N*），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）若數(shù)列{bn}滿足bn=2n+1•an，Sn是數(shù)列{bn}前n項(xiàng)的和，是否存在正實(shí)數(shù)k，使不等式knSn＞4bn對(duì)于一切的n∈N*恒成立？若存在指出k的取值范圍，并證明；若不存在說(shuō)明理由．
（本小題滿分16分）
（1）∵f（x）+f（1-x）=
4x
4x+2
+
41-x
41-x+2
=
4x
4x+2
+
4
4+2•4x
=1
∴f（
1
n
）+f（
n-1
n
）=1．（5分）
（2）∵an=f（0）+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f（1）（n∈N*），①
∴an=f(1)+f(
n-1
n
)+f(
n-2
n
)+…+f（
1
n
）+f（0）（n∈N*），②
由（1），知 f（
1
n
）+f（
n-1
n
）=1，
∴①+②，得2an=n+1，
∴an=
n+1
2
．（10分）
（3）∵bn=2n+1•an，∴bn=(n+1)•2n，
∴Sn=2•21+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，①
∴2Sn=2•22+3•23+4•24+…+n•2n+（n+1）•2n+1，②
①-②得-Sn=4+22+23+…+2n-(n+1)•2n+1，
即Sn=n•2n+1，（12分）
要使得不等式knSn＞4bn恒成立，即kn2-2n-2＞0對(duì)于一切的n∈N*恒成立，
n=1時(shí)，k-2-2＞0成立，即k＞4．
設(shè)g（n）=kn2-2n-2，
當(dāng)k＞4時(shí)，由于對(duì)稱軸直線n=
1
k
＜1，且 g（1）=k-2-2＞0，而函數(shù)f（x）在[1，+∞） 是增函數(shù)，
∴不等式knSn＞bn恒成立，
即當(dāng)k＞4時(shí)，不等式knSn＞bn對(duì)于一切的n∈N*恒成立 …（16分）
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
4(a-3)x+a+
1
2
(x＜0)
ax，(x≥0)
，若函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，
1
8
），則a=
 
；若函數(shù)f（x）滿足對(duì)任意x1≠x2，
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＜0都有成立，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
4-x2
|x-3|-3
，則它是（　�。�
A、奇函數(shù)B、偶函數(shù)
C、既奇又偶函數(shù)D、非奇非偶函數(shù)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
4-x2(x＞0)
2(x=0)
1-2x(x＜0)
，
（1）求f（a2+1）（a∈R），f（f（3））的值；
（2）當(dāng)-4≤x＜3時(shí)，求f（x）取值的集合．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
4•2x+2
2x+1
+x•cosx (-1≤x≤1)，且f（x）存在最大值M和最小值N，則M、N一定滿足（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
4-x2(x＞0)
2(x=0)
1-2x(x＜0)
，
（1）畫出函數(shù)f（x）圖象；
（2）求f（a2+1）（a∈R），f（f（3））的值；
（3）當(dāng)-4≤x＜3時(shí)，求f（x）取值的集合．

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