Question

在直角坐標系xOy中，橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂．F₂也是拋物線C₂：y²=4x的焦點，點M為C₁與C₂在第一象限的交點，且|MF₂|=

5

3

．
（Ⅰ）求C₁的方程；
（Ⅱ）直線l：y=x+m與C₁交于A、B兩點，若

OA

•

OB

=0，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由拋物線的方程可得F₂（1，0），準線方程為x=-1，可得c=1，再由拋物線的定義可得|MF₂|=x-（-1）=

5

3

，可得得M的橫坐標x，代入拋物線方程可得y，由點M已知橢圓上，可得ab的方程，結合a²=b²+c²，聯(lián)立可解ab，可得方程；
（2）設直線l：y=x+m與C₁交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點，聯(lián)立直線與橢圓的方程，消y整理為關于x的二次方程，由韋達定理可得x₁+x₂和x₁•x₂，可得y₁•y₂，而

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=0，代入數據可得關于m的方程，解之代入可得直線方程．

解答：解：（1）由y²=4x可得其焦點的坐標為F₂（1，0），
準線方程為x=-1，故可得在橢圓中c=1，
又由拋物線的定義可得|MF₂|=x-（-1）=

5

3

，
解得M的橫坐標為x=

2

3

，代入拋物線方程可得y=

2 6

3

，
故點M（

2

3

，

2 6

3

）也在已知橢圓上，故有

4

9a2

+

24

9b2

=1
結合a²=b²+c²=b²+1可解得a²=4，b²=3
故C₁的方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（2）設直線l：y=x+m與C₁交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點，
聯(lián)立方程

x2 4 + y2 3 =1 y=x+m

消y并整理得，7x²+8mx+4m²-12=0，
該方程的兩根為x₁，x₂，由韋達定理可得x₁+x₂=-

8m

7

，x₁•x₂=

4m2-12

7

又由點AB也在直線y=x+m可得y₁•y₂=（x₁+m）（x₂+m）
=x₁•x₂+m（x₁+x₂）+m²
=

4m2-12

7

-

8m

7

m+m²=

3m2-12

7

由

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=

4m2-12

7

+

3m2-12

7

=0可解得m=±

42

7

故所求直線l的方程為y=x±

42

7

，即x-y±

42

7

=0

點評：本題考查橢圓方程的求解以及直線與橢圓的位置關系，涉及向量的數量積的運算，屬中檔題．