15．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1$的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)F1關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱點(diǎn)P仍在橢圓上，則△PF1F2的周長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$+2．

分析 設(shè)出橢圓的左焦點(diǎn)，關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱點(diǎn)P（m，n），由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解得m=0，n=c，由橢圓方程可得b=c=1，進(jìn)而得到a的值，再由橢圓的定義可得周長(zhǎng)為2a+2c．

解答 解：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為（-c，0），
點(diǎn)F1關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱點(diǎn)P（m，n），
由$\frac{n-0}{m+c}$=1，$\frac{n}{2}$=-$\frac{m-c}{2}$，解得m=0，n=c，
即P（0，c），
由題意方程可得b=c=1，a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
由題意的定義可得△PF1F2的周長(zhǎng)為2a+2c=2$\sqrt{2}$+2．
故答案為：2$\sqrt{2}$+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，考查點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的條件，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

5．設(shè)函數(shù)$f（x）=|{\frac{1}{2}x+1}|+|{x-1}|（x∈R）$的最小值為a．
（1）求a；
（2）已知兩個(gè)正數(shù)m，n滿足m2+n2=a，求$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最小值．

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6．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為等于圓R：x2+（y-2）2=4的直徑，過(guò)點(diǎn)P（0，1）的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)A，B，與圓R交于兩點(diǎn)M，N
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求證：直線RA，RB的斜率之和等于零；
（Ⅲ）求|AB|•|MN|的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

3．某小學(xué)對(duì)五年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測(cè)試，已知五年一班共有學(xué)生30人，測(cè)試立定跳遠(yuǎn)的成績(jī)用莖葉圖表示如圖（單位：cm）：
男生成績(jī)?cè)?75cm以上（包括175cm）定義為“合格”，成績(jī)?cè)?75cm以下（不包括175cm）定義為“不合格”．
女生成績(jī)?cè)?65cm以上（包括165cm）定義為“合格”，成績(jī)?cè)?65cm以下（不包括165cm）定義為“不合格”．
（Ⅰ）求五年一班的女生立定跳遠(yuǎn)成績(jī)的中位數(shù)；
（Ⅱ）在五年一班的男生中任意選取3人，求至少有2人的成績(jī)是合格的概率；
（Ⅲ）若從五年一班成績(jī)“合格”的學(xué)生中選取2人參加復(fù)試，用X表示其中男生的人數(shù)，寫出X的分布列，并求X的數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

10．已知橢圓Γ：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率等于$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，橢圓Γ上的點(diǎn)到它的中心的距離的最小值為2．
（Ⅰ）求橢圓Γ的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)E（0，4）作關(guān)于y軸對(duì)稱的兩條直線分別與橢圓Γ相交，y軸左邊的交點(diǎn)由上到下依次為A，B，y軸右邊的交點(diǎn)由上到下依次為C，D，求證：直線AD過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

20．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$的右焦點(diǎn)為F，雙曲線${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$的一條漸近線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且
AF⊥BF，則橢圓C的離心率為$\sqrt{3}$-1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

7．已知函數(shù)$f（x）=x-\frac{1}{x}-blnx（b∈R）$，且曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與y軸垂直．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=x2，求證g（x）＞f（x）-2ln2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

4．設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ可能取到值為1，2，3，P（ξ=k）=ak+b（k=1，2，3），若ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=$\frac{7}{3}$，則a+b=$\frac{1}{6}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

5．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，橢圓C與y軸交于A、B兩點(diǎn)，|AB|=2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，且直線PA，PB與直線x=4分別交于M、N兩點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使得以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，0）？若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

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