Question

用數字1，2，3，4，5組成沒有重復數字的數：
（1）能夠組成多少個萬位不排數字3的五位奇數？
（2）能夠組成多少個大于21345的正整數？

Answer 1

解：（Ⅰ）分成兩類：（1）把3排在個位，其他數字全排列共有A₄⁴；
（2）把3排在十、百或千位，把1或5排在個位，其他為3的全排列共有A₃¹•A₂¹•A₃³．
∴組成萬位不排數字3的五位奇數共有A₄⁴+A₃¹•A₂¹•A₃³=60
（Ⅱ）由題意知可以采用排除法
∵所有的五位正整數共有A₅⁵個
比21345小的有A₄⁴+1個
∴能夠組成大于21345的正整數有A₅⁵-（A₄⁴+1）=95個．
分析：（Ⅰ）因為條件中對于3有限制，所以針對于3分成兩類①把3排在個位，其他數字全排列共有A₄⁴，②把3排在十、百或千位，把1或5排在個位，其他為3的全排列共有A₃¹•A₂¹•A₃³，根據分類計數原理得到組成萬位不排數字3的五位奇數的個數．
（Ⅱ）由題意知可以采用排除法，即寫出所有的沒有重復數字的五位數，減去不合題意的數字，所有的五位正整數共有A₅⁵個比21345小的有A₄⁴+1個，相減得到結果．
點評：本題的第二問也可以這樣解，用直接法A₃¹•A₄⁴+A₃¹•A₃³+A₂¹•A₂²+1=95個，即直接從問題的正面來求解．