Question

已知定義在R上的函數(shù)，其中a≠1．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，判斷f（x）的單調(diào)性并求f（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅱ）若y=f（x）的圖象與x軸恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）對(duì)f（x）求導(dǎo)得：f′（x）=x²-（3a+1）x+2a（a+1），
代入a=2有f′（x）=（x-3）（x-4）；
令f′（x）＞0得x∈（-∞，3）∪（4，+∞）；又令f′（x）＜0，得到：x∈（3，4），
于是：f（x）在（-∞，3），（4，+∞）上單調(diào)遞增；f（x）在（3，4）上單調(diào)遞減．
當(dāng)x=3時(shí)，f（x）有極大值，當(dāng)x=4時(shí)，f（x）有極小值，所以x=3是極大值點(diǎn)，x=4是極小值點(diǎn)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f′（x）=（x-2a）[x-（a+1）]，
（1）當(dāng)a＜1時(shí)，有：2a＜a+1；令f′（x）＞0得：x∈（-∞，2a）∪（a+1，+∞）；
再令f′（x）＜0得：x∈（2a，a+1），故f（x）在（-∞，2a），（a+1，+∞）上單調(diào)遞增，
在（2a，a+1）上單調(diào)遞減；此時(shí)可知：f（2a）為f（x）的極大值，f（a+1）為f（x）的極小值；
欲使y=f（x）的圖象與x軸恰有三個(gè)交點(diǎn)，則必有：，
即是：，解得：a∈（-3，-1）∪（-1，0）∪（0，）．
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，有：2a＞a+1；令f′（x）＞0得：x∈（-∞，a+1）∪（2a，+∞）；
再令f′（x）＜0得：x∈（a+1，2a），故f（x）在（-∞，a+1），（2a，+∞）上單調(diào)遞增，
在（a+1，2a）上單調(diào)遞減；此時(shí)可知：f（a+1）為f（x）的極大值，f（2a）為f（x）的極小值；
欲使y=f（x）的圖象與x軸恰有三個(gè)交點(diǎn)，則必有：，
即是：?a∈∅，
綜上可知：a∈（-3，-1）∪（-1，0）∪（0，）．
分析：（Ⅰ）求出f′（x），把a(bǔ)=2代入，解不等式f′（x）＞0，及f′（x）＜0，由此可判斷函數(shù)單調(diào)性及極值點(diǎn)；
（Ⅱ）分情況討論函數(shù)f（x）的極值，若y=f（x）的圖象與x軸恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則有極大值大于0，極小值小于0，從而可得a的取值范圍；
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，本題運(yùn)用了分類(lèi)討論思想及數(shù)形結(jié)合思想．