已知函數(shù).

（1）若在上的最大值為，求實數(shù)的值；

（2）若對任意，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）在（1）的條件下，設，對任意給定的正實數(shù)，曲線 上是否存在兩點、，使得是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？請說明理由。

 

【答案】

（1）（2）（3）對任意給定的正實數(shù)，曲線 上總存在兩點，使得是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上

【解析】

試題分析：（1）由，得，

令，得或．

列表如下：

0

 

0

0

極小值

極大值

∵，，，

即最大值為，．                  4分

（2）由，得．

，且等號不能同時取，，

恒成立，即．

令，求導得，，

當時，，從而，

在上為增函數(shù)，，．            8分

（3）由條件，，

假設曲線上存在兩點滿足題意，則只能在軸兩側(cè)，

不妨設，則，且．

是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，

， ，              10分

是否存在等價于方程在且時是否有解．

①若時，方程為，化簡得，

此方程無解；                            11分

②若時，方程為，即，

設，則，

顯然，當時，，即在上為增函數(shù)，

的值域為，即，

當時，方程總有解．

對任意給定的正實數(shù)，曲線 上總存在兩點，使得是以（為坐標原點）為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上．      14分

考點：函數(shù)最值及與之相關的不等式問題

點評：求函數(shù)最值通過函數(shù)導數(shù)求得極值，比較極值與閉區(qū)間的邊界值的大小得最值，不等式恒成立中求參數(shù)范圍的題目常采用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問題

 

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分12分）已知函數(shù)．

（1）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，且對于任意，恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；（3）設函數(shù)，求證：．

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（本題滿分12分）已知函數(shù)，

（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時，求證：．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年湖南省岳陽市高三第一次質(zhì)量檢測理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分13分）已知函數(shù)．

（1）若為的極值點，求實數(shù)的值；

（2）若在上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當時，方程有實根，求實數(shù)的最大值．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年湖北省華中師大一附中高三上學期期中檢測文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)。

（1）若，求函數(shù)的值；

（2）求函數(shù)的值域。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：吉林省10-11學年高二下學期期末考試數(shù)學（理） 題型：解答題

已知函數(shù)．

（1）若從集合中任取一個元素，從集合中任取一個元素，求方程有兩個不相等實根的概率；

（2）若是從區(qū)間中任取的一個數(shù)，是從區(qū)間中任取的一個數(shù)，求方程沒有實根的概率．

 

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