Question

曲線y=

1

18

(a+

12

a

)x3-

2

a

x在點(diǎn)x=1處的切線為m，在點(diǎn)x=0處的切線為n，則直線m與n的夾角的取值范圍是（　　）

• A、(0，

  π

  6

  ]
• B、(0，

  π

  3

  ]
• C、[

  π

  3

  ，

  π

  2

  )
• D、[

  π

  3

  ，

  π

  2

  ]

Answer 1

分析：先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義利用導(dǎo)數(shù)求出曲線y=

1

18

(a+

12

a

)x3-

2

a

x在點(diǎn)x=1處的切線斜率，再設(shè)直線m與n的夾角為θ，結(jié)合兩直線的夾角公式求得夾角的正切值，最后利用基本不等式求正切值的取值范圍即可得出直線m與n的夾角的取值范圍．

解答：解：∵y=

1

18

(a+

12

a

)x3-

2

a

x，
∴y′=

1

6

(a+

12

a

)x2-

2

a

，
∴曲線y=

1

18

(a+

12

a

)x3-

2

a

在點(diǎn)x=1處的切線斜率為：
k₁=y=

1

18

(a+

12

a

) -

2

a

，
在點(diǎn)x=0處的切線為k₂=y= -

2

a

，
設(shè)直線m與n的夾角為θ，則：
tanθ=|

k 1-k 2

1+k 1k 2

|=|

1

4

(a+

12

a

)|≥

3

，
則直線m與n的夾角的取值范圍是[

π

3

，

π

2

)，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、兩直線的夾角與到角問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．