Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g(x)=

1

2

ax2+bx(a≠0)
（1）當a=-2時，函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在其定義域內是增函數(shù)，求實數(shù)b的取值范圍；
（2）令V（x）=2f（x）-x²-kx（k∈R），如果V（x）的圖象與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點（0＜x₁＜x₂），且線段AB的中點為C（x₀，0），函數(shù)V（x）的導函數(shù)為V′（x），求證：V′（x₀）≠0．

Answer 1

分析：（1）求導函數(shù)，可得h′(x)=

1

x

+2x-b≥0對任意x∈（0，+∞）恒成立，分離參數(shù)，求出函數(shù)的最值，即可求實數(shù)b的取值范圍；
（2）利用反證法，求導函數(shù)，利用V（x）的圖象與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點（0＜x₁＜x₂），且線段AB的中點為C（x₀，0），從而可引出矛盾．

解答：（1）解：由題意，h（x）=lnx+x²-bx，
∵函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在其定義域內是增函數(shù)，
∴h′(x)=

1

x

+2x-b≥0對任意x∈（0，+∞）恒成立
分離參數(shù)可得b≤(

1

x

+2x)min，
所以b∈(-∞，2

2

]…（4分）
（2）證明：V（x）=2f（x）-x²-kx（k∈R），所以V′(x)=

2

x

-2x-k
令V′（x₀）=0，則由題意可得2lnx1-x12-kx1=0①；2lnx2-x22-kx2=0②
x₁+x₂=2x₀③；

2

x0

-2x0-k=0④
由①②得k=

2ln x1 x2

x1-x2

-2x0
由④得k=

2

x0

-2x0
所以

2ln x1 x2

x1-x2

=

1

x0

=

2

x1+x2

，即ln

x1

x2

=

2 x1 x2 -2

x1 x2 +1

⑤（8分）
令t=

x1

x2

，則u(t)=lnt-

2t-2

t+1

(0＜t＜1)，所以u′=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0
因此u（t）在（0，1）上是增函數(shù)，
所以u（t）＜u（1）=0，即ln

x1

x2

＜

2 x1 x2 -2

x1 x2 +1

與⑤矛盾 
因此假設不成立  
故V'（x₀）≠0（12分）

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性，考查反證法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．