Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=

4

5

，a_n+1=

4an

3an+1

（n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{

1

an

-1}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）求{a_n}通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出n≥2時，

1

an

-1=

3an-1+1

4an-1

-1=

1

4

(

1

an-1

-1)．又

1

a1

-1=

1

4

，由此能證明數(shù)列{

1

an

-1}為首項是

1

4

，公比為

1

4

的等比數(shù)列．
（2）解：由（1）知

1

an

-1=（

1

4

）ⁿ，由此能求出{a_n}通項公式．

解答： （1）證明：∵數(shù)列{a_n}中，a₁=

4

5

，a_n+1=

4an

3an+1

（n∈N^*）
∴n≥2時，

1

an

-1=

3an-1+1

4an-1

-1
=

1-an-1

4an-1

=

1

4

(

1

an-1

-1)．
又

1

a1

-1=

1

4

，
∴數(shù)列{

1

an

-1}為首項是

1

4

，公比為

1

4

的等比數(shù)列．…（6分）
（2）解：由（1）知

1

an

-1=（

1

4

）ⁿ，
∴

1

an

=1+（

1

4

）ⁿ，
∴a_n=

1

1+ 1 4n

．…（12分）．

點評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運用．