Question

6．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，對稱軸在坐標(biāo)軸上，離心率為$\sqrt{2}$，且經(jīng)過點(diǎn)P（2，1），則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；漸近線方程是y=±x．

Answer 1

分析 由雙曲線得離心率可知為等軸雙曲線，故設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²-y²=λ（λ≠0），把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和漸近線方程．

解答 解：由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，a²+b²=c²，
可得a=b，
則雙曲線為等軸雙曲線，
故設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²-y²=λ（λ≠0），
又點(diǎn)P（2，1）在雙曲線上，則λ=4-1=3，
則所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
漸近線方程為y=±x．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，y=±x．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程和漸近線方程的求法，注意運(yùn)用雙曲線的離心率公式，熟練掌握等軸雙曲線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．