Question

6．已知雙曲線(xiàn)的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸在坐標(biāo)軸上，離心率為$\sqrt{2}$，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，1），則該雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；漸近線(xiàn)方程是y=±x．

Answer 1

分析 由雙曲線(xiàn)得離心率可知為等軸雙曲線(xiàn)，故設(shè)所求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²-y²=λ（λ≠0），把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入即可得出雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和漸近線(xiàn)方程．

解答 解：由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，a²+b²=c²，
可得a=b，
則雙曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn)，
故設(shè)所求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²-y²=λ（λ≠0），
又點(diǎn)P（2，1）在雙曲線(xiàn)上，則λ=4-1=3，
則所求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
漸近線(xiàn)方程為y=±x．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，y=±x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的方程和漸近線(xiàn)方程的求法，注意運(yùn)用雙曲線(xiàn)的離心率公式，熟練掌握等軸雙曲線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．