Question

已知四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA₁，F(xiàn)為棱BB₁的中點(diǎn)，M為線段AC₁的中點(diǎn)

   （Ⅰ）求證：直線MF//平面ABCD；

   （Ⅱ）求證：平面AFC₁平面ACC₁A₁；

（Ⅲ）求平面AFC₁與平面ABCD所成二面角（銳角）的大小．

Answer 1

方法一：

   （Ⅰ）延長C₁F交CB的延長線于N，連結(jié)AN因?yàn)镕是BB₁的中點(diǎn)，所以F為C₁N的中點(diǎn)，B為CN的中點(diǎn)

又M是線段AC₁的中點(diǎn)，故MF//AN．

平面，平面，

平面

   （Ⅱ）證明：連結(jié)BD，由直四棱柱―A₁B₁C₁D₁

可知：A₁A平面，

又平面

四邊形為菱形，

又平面，

平面

在四邊形中，且，所以四邊形為平行四邊形

故，平面

又平面，

    平面平面

   （Ⅲ）由（Ⅱ）知平面，又平面

   ．

，

．

又由可知．

就是平面AFC₁與平面所成二面角的平面角．

在中，，故．

∴平面與平面所成二面角的大小為30°．

方法二：設(shè)因?yàn)镸、O分別為、的中點(diǎn)，所以，

又有直四棱柱知平面，所以，平面．

在菱形中，所以，兩兩垂直，故以O(shè)為原點(diǎn)

所在直線分別為軸、軸、軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

若設(shè)，則，，，，．

   （Ⅰ）由分別為、的中點(diǎn)可知：，

所以．

根據(jù)已知得．

平面，平面．

平面．

   （Ⅱ）為平面的法向量．

設(shè)為平面的一個法向量，則

由，，解得：

令，得，此時，．

由得平面平面．

   （Ⅲ）為平面的法向量，設(shè)平面與平面所成二面角

的大小為，則．

       根據(jù)已知得，即平面與平面所成二面角的大小為30°.