如圖,F(xiàn)是橢圓的右焦點,以點F為圓心的圓過原點O和橢圓的右頂點,設(shè)P是橢圓上的動點,P到橢圓兩焦點的距離之和等于4.

(1)求橢圓和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)直線l的方程為x=4,PM⊥l,垂足為M,是否存在點P,使得△FPM為等腰三角形?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

 

【答案】

(1) =1   (x-1)2+y2=1

(2) 存在點P,使得△FPM為等腰三角形

【解析】解:(1)由題意,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1,由已知可得2a=4,a=2c,解得a=2,c=1,b2=a2-c2=3.

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=1.

(2)設(shè)P(x,y),則M(4,y),F(xiàn)(1,0),-2≤x≤2,

∵P(x,y)在橢圓上,∴=1,

∴y2=3-x2.

∴|PF|2=(x-1)2+y2=(x-1)2+3-x2 (x-4)2,

|PM|2=|x-4|2,|FM|2=32+y2=12-x2.

①若|PF|=|FM|,則 (x-4)2=12-x2,解得x=-2或x=4(舍去),x=-2時,P(-2,0),此時P,F(xiàn),M三點共線,不合題意.∴|PF|≠|(zhì)FM|;

②若|PM|=|PF|,則(x-4)2 (x-4)2,解得x=4,不合題意;

③若|PM|=|FM|,則(x-4)2=12-x2,解得x=4(舍去)或x=,x=時y=±,

∴P.

綜上可得,存在點P,使得△FPM為等腰三角形.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

(本題滿分12分)閱讀下列材料,解決數(shù)學(xué)問題.

圓錐曲線具有非常漂亮的光學(xué)性質(zhì),被人們廣泛地應(yīng)用于各種設(shè)計之中,比如橢圓鏡面用來制作電影放映機的聚光燈,拋物面用來制作探照燈等,它們的截面分別是橢圓和拋物線.雙曲線也具有非常好的光學(xué)性質(zhì),從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線,經(jīng)過雙曲線反射后,反射光線是發(fā)散的,它們好像是從另一個焦點射出的一樣,如右上圖所示.

反比例函數(shù)的圖像是以直線為軸,以坐標(biāo)軸為漸近線的等軸雙曲線,記作C.

(Ⅰ)求曲線C的離心率及焦點坐標(biāo);

(Ⅱ)如右下圖,從曲線C的焦點F處發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線反射后得到的反射光線與入射光線垂直,求入射光線的方程.

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