精英家教網(wǎng)如圖,在矩形ABCD中,AB=5,BC=3,沿對角線BD把△ABD折起,使A移到A1點,過點A1作A1O⊥平面BCD,垂足O恰好落在CD上.
(1)求證:BC⊥A1D;
(2)求直線A1B與平面BCD所成角的正弦值.
分析:(1)由已知中A1O⊥平面BCD,垂足O恰好落在CD上我們易得BC⊥A1O,又由四邊形ABCD為矩形,故BC⊥CD,則根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC⊥面A1CD.再由線面垂直的性質(zhì)即可得到BC⊥A1D;
(2)連接BO,則∠A1BO是直線A1B與平面BCD所成的角,根據(jù)已知中矩形ABCD中,AB=5,BC=3,及(1)的結論,解三角形A1BO即可得到答案.
解答:解:(1)證明:因為A1O⊥平面BCD,BC?平面BCD,∴BC⊥A1O,
因為BC⊥CD,A1O∩CD=O,∴BC⊥面A1CD.
因為A1D?面A1CD,∴BC⊥A1D.(6分)
(2)連接BO,則∠A1BO是直線A1B與平面BCD所成的角.
因為A1D⊥BC,A1D⊥A1B,A1B∩BC=B,∴A1D⊥面A1BC.A1C?面A1BC,∴A1D⊥A1C.
在Rt△DA1C中,A1D=3,CD=5,∴A1C=4.
根據(jù)S△A1CD=
1
2
A1D•A1C=
1
2
A1O•CD,得到A1O=
12
5
,
在Rt△A1OB中,sin∠A1BO=
A1O
A1B
=
\f(12
5
,5)
=
12
25

所以直線A1B與平面BCD所成角的正弦值為
12
25
.(12分)
點評:本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質(zhì)及直線與平面所成的角,其中(1)中關鍵是熟練掌握直線與平面垂直的判定及性質(zhì),(2)中關鍵是找出直線與平面所成的角的平面角.
練習冊系列答案
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3
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12
BC,E為AD的中點,將△ABE沿BE折起,使平面ABE⊥平面BCDE.
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