已知向量
m
=(a,b),
n
=(sin2x,2cos2x),若f(x)=
m
n
,且f(0)=8,f(
π
6
)=12

(1)求a,b的值;
(2)求函數(shù)f(x)的最大值及取得最大值時的x的集合;
(3)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間.
(1)由題意可知f(x)=asin2x+2bcos2x
由f(0)=2b=8,解得b=4.
f(
π
6
)=asin
π
3
+2bcos2
π
6
=
3
2
a+8×
3
4
=12
,解得a=4
3

(2)由(1)可知f(x)=4
3
sin2x+4cos2x+4
=8(
3
2
sin2x+
1
2
cos2x)
+4
f(x)=8sin(2x+
π
6
)+4

當(dāng)2x+
π
6
=2kπ+
π
2
,k∈Z
時,sin(2x+
π
6
)
取得最大值1,
∴f(x)max=8×1+4=12
此時x的集合為{x|x=kπ+
π
6
,k∈Z}

(3)由-
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
(k∈Z),
解得kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
(k∈Z).
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是[kπ-
π
3
,kπ+
π
6
]
(k∈Z).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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是否存在一個實數(shù),使方程的兩個根是一個直角三角形的兩個銳角的正弦值.

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△ABC滿足:
a
cosA
=
b
cosB
=
c
cosC
,那么此三角形的形狀是( 。
A.直角三角形B.正三角形C.任意三角形D.等腰三角形

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△ABC中,已知(a+b):(b+c):(c+a)=6:4:5,給出下列結(jié)論:
①這個三角形被唯一確定
②△ABC是鈍角三角形
③sinA:sinB:sinC=7:5:3
其中正確結(jié)論的序號是______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知f(x)=2
3
cos
x
2
sin
x
2
+sin2
x
2
-cos2
x
2

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若f(A)=1,2a=3b,求sinC的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知:函數(shù)f(x)=2
3
sin2x+
cos3x
cosx

(1)求函數(shù)f(x)的最大值及此時x的值;
(2)在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對的邊,且對f(x)定義域中的任意的x都有f(x)≤f(A).現(xiàn)在給出三個條件:①a=2;②B=45°;③c=
3
b
,試從中選出兩個可以確定△ABC的條件,寫出你的選擇并以此為依據(jù)求△ABC的面積.(只需寫出一個選定方案即可)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知tanα=-2,求下列各式的值.
(1)
4sinα+3cosα
2sinα-cosα

(2)4sin2α+3cos2α

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=sin(2x+
π
6
)+sin(2x-
π
6
)+2cos2x

(Ⅰ)求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)求使f(x)≥2的x的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在銳角中,.
(1)求的大小;
(2)若,求的值.

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