Question

已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，1），B（0，2），且圓心在直線x-y-1=0上．
（1）求圓C的方程；
（2）求過(guò)點(diǎn)（2，3）且被圓C截得的弦長(zhǎng)為4的直線l的方程；
（3）若點(diǎn)P（x，y）在圓C上，求t=

x-2

y-3

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓的位置關(guān)系

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：（1）設(shè)圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，利用圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，1），B（0，2），且圓心在直線x-y-1=0上，求出D，E，F(xiàn)，即可求圓C的方程；
（2）弦長(zhǎng)為4，圓心到直線l的距離為1，分類討論，即可求出直線l的方程；
（3）t=

x-2

y-3

可得x-2-t（y-3）=0，則

|-1+3t|

1+t2

≤

5

，即可求t=

x-2

y-3

的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，則
∵圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，1），B（0，2），且圓心在直線x-y-1=0上，
∴

1+1-D+E+F=0 4+2E+F=0 - D 2 + E 2 -1=0

，
∴D=-2，E=0，F(xiàn)=-4，
∴圓的方程為x²+y²-2x-4=0；
（2）圓的方程可化為（x-1）²+y²=5，圓心為（1，0），半徑為

5

，
∵弦長(zhǎng)為4，
∴圓心到直線l的距離為1．
①直線的斜率不存在時(shí)，方程為x=2，滿足題意；
②直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為k（x-2）-y+3=0，則

|-k+3|

1+k2

=1，∴k=

4

3

，
∴直線的方程為4x-3y+1=0，
綜上所述，直線的方程為x=2或4x-3y+1=0；
（3）t=

x-2

y-3

可得x-2-t（y-3）=0，則

|-1+3t|

1+t2

≤

5

，
解得-

1

2

≤t≤2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．