Question

9．已知橢圓、拋物線、雙曲線的離心率構成一個等比數(shù)列，且它們有一個公共的焦點（0，2），其中雙曲線的一條漸近線為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，求三條曲線的標準方程．

Answer 1

分析 根據(jù)三個曲線的離心率以及離心率之間的關系，求出c=2，利用待定系數(shù)法進行求解即可．

解答 解：∵橢圓、拋物線、雙曲線有一個公共的焦點（0，2），
∴它們的焦點都在y軸上，t因為雙曲線的焦點在x軸上，故
設拋物線方程為x²=2py，
其中$\frac{p}{2}$=2，則p=4，
即拋物線方程為x²=8y，
設雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0．b＞0），
則c=2，
∵它的一條漸近線方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，∴$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即b=$\sqrt{3}a$，平方得b²=3a²=c²-a²，
即4a²=c²=4，則a²=1，
則a=1，b²=4-1=3，即雙曲線方程為${y}^{2}-\frac{{x}^{2}}{3}$=1，
則雙曲線的離心率e=2，
∵橢圓、拋物線、雙曲線的離心率構成一個等比數(shù)列，所以這個等比數(shù)列的中間項一定是拋物線的離心率1，由等比數(shù)列性質可得橢圓和雙曲線的離心率互為倒數(shù)，因此，橢圓的離心率e=$\frac{1}{2}$，
設橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{_{1}}^{2}}$1（a₁＞b₁＞0），則c=2，e=$\frac{c}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{{a}_{1}}=\frac{1}{2}$，
則a₁=4，b₁²=4²-2²=12．
所以橢圓的方程為$\frac{{y}^{2}}{16}+\frac{{x}^{2}}{12}=1$．

點評 本題考查圓錐曲線的方程，根據(jù)條件分別求出拋物線的p，以及雙曲線和橢圓的a，b的值是解決本題的關鍵．考查學生的計算能力．