Question

設(shè)實(shí)數(shù)a，b，c滿足a²+b²≤c≤1，則a+b+c的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：法1：令a=rcosθ，b=rsinθ，其中：0≤r≤c≤1，θ∈[0，2π）．再利用三角函數(shù)基本關(guān)系式、兩角和差的正弦公式即可得出．
法2：由a+b+c≥a+b+a²+b²，通過配方變形為(a+

1

2

)2+(b+

1

2

)2-

1

2

即可得出．

解答： 解：法1：令a=rcosθ，b=rsinθ，其中：0≤r≤c≤1，θ∈[0，2π）．
則a+b+c≥rcosθ+rsinθ+r²=r2+

2

rsin(θ+

π

4

)≥r2-

2

r=(r-

2

2

)2-

1

2

≥-

1

2

，當(dāng)且僅當(dāng)r=

2

2

取等號．
∴a+b+c的最小值為-

1

2

．
故答案為：-

1

2

．（0≤r≤c≤1）．
法2：∵實(shí)數(shù)a，b，c滿足a²+b²≤c≤1，
∴a+b+c≥a+b+a²+b²=(a+

1

2

)2+(b+

1

2

)2-

1

2

≥-

1

2

，當(dāng)a=b=-

1

2

，c=

1

2

時(shí)取等號，
∴a+b+c的最小值為-

1

2

．
故答案為：-

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查了三角函數(shù)基本關(guān)系式、兩角和差的正弦公式、配方法，屬于中檔題．