Question

2．定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f（x）滿足對(duì)任意x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）=-2sin$\frac{π}{2}$x-2，若函數(shù)y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• B． （$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）
• C． （0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
• D． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）

Answer 1

分析 令x=-1，求出f（1）=0，得出函數(shù)f（x）的周期為2，畫出f（x）和y=log_a（x+1）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解．

解答 解：∵f（x+2）=f（x）-f（1），
∴f（-1+2）=f（-1）-f（1），即f（1）=f（-1）-f（1），
∴2f（1）=f（-1）．
∵f（x）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，∴f（-1）=f（1），
∴2f（1）=f（1），f（1）=0．
∴f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期為2的偶函數(shù)．
若函數(shù)y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三個(gè)零點(diǎn)，
可得y=f（x）和y=log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三個(gè)交點(diǎn)，
作出y=f（x）和y=log_a（x+1）的圖象如圖所示：

∵函數(shù)y=f（x）-log_a（x+1）至少有3個(gè)零點(diǎn)，∴0＜a＜1．
∴l(xiāng)og_a（2+1）＞-2，解得0＜a＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷，畫出函數(shù)圖象借助圖象判斷是常用解題方法．