Question

13．已知|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$，
（1）若$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的夾角為60°，求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|；
（2）若$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$垂直，求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角．
（3）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的數(shù)量積和模計(jì)算即可；
（2）根據(jù)向量垂直的條件和向量的數(shù)量積公式計(jì)算即可；
（3）根據(jù)向量平行的條件和向量的數(shù)量積公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$，$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的夾角為60°，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow$|²+2|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|cos60°=1+2+2×1×$\sqrt{2}$×$\frac{1}{2}$=3+$\sqrt{2}$，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{3+\sqrt{2}}$，
（2）設(shè)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為θ
∵$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$垂直，
∴（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{a}$=|$\overrightarrow{a}$|²-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=1-|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|cosθ=1-$\sqrt{2}$cosθ=0，
解得cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴θ=45°，
（3）∵$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為0°或180°，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|cos0°=$\sqrt{2}$，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|cos180°=-$\sqrt{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積公式以及向量的垂直和平行的條件，屬于中檔題．