Question

已知m²sinα+mcosα-2=0，n²sinα+ncosα-2=0（m，n，α∈R，m≠n），直線l過(guò)點(diǎn)P（m，m²），Q（n，n²），則直線l被圓（x-cosα）²+（y-sinα）²=9所截得的弦長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專(zhuān)題：直線與圓

分析：由已知條件得到m+n與mn的表達(dá)式，再求兩點(diǎn)所在的直線方程，表示圓心到直線的距離，與半徑比較大小即可．

解答： 解：由題意可得，m、n是方程x²sinα+xcosα-2=0的兩個(gè)根，∴m+n=-cotα，mn=

-2

sinα

．
過(guò)（m，m²），（n，n²）兩點(diǎn)的直線l方程為：

y-n2

m2-n2

=

x-n

m-n

，
即：（m+n）x-y-mn=0，即l：-cotαx-y-

-2

sinα

=0，即 cotαx+y-

2

sinα

=0．
∴圓心（cosα，sinα）到直線l的距離 

|cotα•cosα+sinα- 2 sinα |

cot2α+1

=

|cos2α+sin2α-2|

cos2α+sin2α

=1，
而圓的半徑等于3，故弦長(zhǎng)為2

32-12

=4

2

，
故答案為：4

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考察直線與圓的位置關(guān)系，間接考察韋達(dá)定理和直線方程，注重知識(shí)的聯(lián)系．屬于基礎(chǔ)題．