分析 (1)在CE上取一點(diǎn)M,使CM=BF,連FM,推導(dǎo)出四邊形BCMF為平行四邊形,從而四邊形ADMF為平行四邊形,進(jìn)而AF∥DM,由此能證明AF∥平面DCE.
(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CB,CD的方向分別為x,y軸,建立空間直角坐標(biāo)系.利用向量法能證明BG⊥DF.
(3)求出平面ADF的一個(gè)法向量和平面EDF的一個(gè)法向量,利用向量法能求出線段DF的長.
解答 (本小題滿分13分)
證明:(1)在CE上取一點(diǎn)M,使CM=BF,連FM,
∵BF∥CE,∴BF∥CM,
∴四邊形BCMF為平行四邊形,…(1分)
∴MF=∥BC,∴MF=∥AD,
∴四邊形ADMF為平行四邊形…(3分)
∴AF∥DM,
∵DM?平面DCE,AF?平面DCE,
∴AF∥平面DCE.…(4分)
(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CB,CD的方向分別為x,y軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AD=a,
∵CE=2BF=2AB=4,∠ABF=DCE=120°,G是AF中點(diǎn).
∴A(a,2,0),B(a,0,0),D(0,2,0),E(0,−2,2√3),F(a,−1,√3),G(a,12,√32).…(6分)
∴→BG=(0,12,√32),→DF=(a,−3,√3),→DE=(0,−4,2√3)…(7分)
∵→BG•→DF=(0,12,√32)•(a,−3,√3)=0×a+12×(−3)+√32×√3=0,
∴BG⊥DF…(8分)
解:(3)∵四邊形ABCD為矩形,∴AB⊥BC,
又∵BF⊥BC,AB,BF是平面ABF內(nèi)的兩條相交直線,∴BC⊥平面ABF,
∵BG?平面ABF,∴BG⊥BC,∴BG⊥AD,又BG⊥DF
∵AD,DF是平面ADF內(nèi)的兩條相交直線,∴BG⊥平面ADF…(9分)
∴→BG=(0,12,√32)是平面ADF的一個(gè)法向量…(10分)
設(shè)平面EDF的一個(gè)法向量為→n=x,y,z),
則{→n•→DF=0→n•→DE=0,∴{ax−3y+√3z=0−4y+2√3z=0,令z=2a,則y=√3a,x=√3,即→n=(√3,√3a,2a),…(11分)
∵二面角E-DF-A的大小為150°,∴|cos150°|=|→n•→BG||→n|•|→BG|=|√32a+√3a|√3+3a2+4a2=√32,解得a=√62
∴線段DF的長為|→DF|=√a2+(−3)2+(√3)2=3√62…(13分)
點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明,考查異面直線垂直的證明,考查線段長的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 216cm3 | B. | 54cm3 | C. | 36cm3 | D. | 108cm3 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 64 | B. | 643 | C. | 16 | D. | 163 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
x(單位:元) | 30 | 40 | 50 | 60 |
y(單位:萬人) | 4.5 | 4 | 3 | 2.5 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 2 | B. | 3 | C. | 4 | D. | 6 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | ({0,\frac{{\sqrt{2}}}{2}}) | B. | ({0,\frac{1}{2}}) | C. | ({\frac{1}{2},1}) | D. | ({\frac{{\sqrt{2}}}{2},1}) |
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