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5.如圖,四邊形ABCD為矩形,四邊形BCEF為直角梯形,BF∥CE,BF⊥BC,CE=2BF=2AB=4,∠ABF=DCE=120°,G是AF中點(diǎn).
(1)求證:AF∥平面DCE;
(2)求證:BG⊥DF;
(3)若二面角E-DF-A的大小為150°,求線段DF的長.

分析 (1)在CE上取一點(diǎn)M,使CM=BF,連FM,推導(dǎo)出四邊形BCMF為平行四邊形,從而四邊形ADMF為平行四邊形,進(jìn)而AF∥DM,由此能證明AF∥平面DCE.
(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CB,CD的方向分別為x,y軸,建立空間直角坐標(biāo)系.利用向量法能證明BG⊥DF.
(3)求出平面ADF的一個(gè)法向量和平面EDF的一個(gè)法向量,利用向量法能求出線段DF的長.

解答 (本小題滿分13分)
證明:(1)在CE上取一點(diǎn)M,使CM=BF,連FM,
∵BF∥CE,∴BF∥CM,
∴四邊形BCMF為平行四邊形,…(1分)
∴MF=BC,∴MF=AD,
∴四邊形ADMF為平行四邊形…(3分)
∴AF∥DM,
∵DM?平面DCE,AF?平面DCE,
∴AF∥平面DCE.…(4分)
(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CB,CD的方向分別為x,y軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AD=a,
∵CE=2BF=2AB=4,∠ABF=DCE=120°,G是AF中點(diǎn).
∴A(a,2,0),B(a,0,0),D(0,2,0),E0223Fa13Ga1232.…(6分)
BG=01232DF=a33,DE=0423…(7分)
BGDF=01232a33=0×a+12×3+32×3=0,
∴BG⊥DF…(8分)
解:(3)∵四邊形ABCD為矩形,∴AB⊥BC,
又∵BF⊥BC,AB,BF是平面ABF內(nèi)的兩條相交直線,∴BC⊥平面ABF,
∵BG?平面ABF,∴BG⊥BC,∴BG⊥AD,又BG⊥DF
∵AD,DF是平面ADF內(nèi)的兩條相交直線,∴BG⊥平面ADF…(9分)
BG=01232是平面ADF的一個(gè)法向量…(10分)
設(shè)平面EDF的一個(gè)法向量為n=x,y,z),
{nDF=0nDE=0,∴{ax3y+3z=04y+23z=0,令z=2a,則y=3ax=3,即n=(33a2a),…(11分)
∵二面角E-DF-A的大小為150°,∴|cos150°|=|nBG||n||BG|=|32a+3a|3+3a2+4a2=32,解得a=62
∴線段DF的長為|DF|=a2+32+32=362…(13分)

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明,考查異面直線垂直的證明,考查線段長的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

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 x(單位:元) 30 40 50 60
 y(單位:萬人) 4.5 4 3 2.5
(1)若y與x具有較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系,試分析y與x之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān);
(2)請根據(jù)如表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程;
(3)根據(jù)(2)中求出的線性回歸方程,預(yù)測票價(jià)定為多少元時(shí),能獲得最大票房收入.
參考公式:b=ni=1xiyinxyni=1xi2nx2,a=y-ˆx

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