A. | (-∞,-$\frac{4}{{{e^2}+5}}}$] | B. | (-∞,$\frac{4}{{{e^2}+5}}}$] | C. | [-$\frac{4}{{{e^2}+5}}$,+∞) | D. | [$\frac{4}{{{e^2}+5}}$,+∞) |
分析 由求導(dǎo)公式和法則求出f′(x),化簡(jiǎn)后對(duì)a進(jìn)行分類討論,分別利用導(dǎo)數(shù)在定義域內(nèi)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值,再求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解答 解:由題意得,$f′(x)=\frac{[(1-a){x}^{2}-ax+a]′{e}^{x}-({e}^{x})′[(1-a){x}^{2}-ax+a]}{({e}^{x})^{2}}$
=$\frac{(a-1){x}^{2}+(2-a)x-2a}{{e}^{x}}$=$\frac{[(a-1)x+a](x-2)}{{e}^{x}}$,
(1)當(dāng)a=1時(shí),$f′(x)=\frac{x-2}{{e}^{x}}$,
當(dāng)x∈(0,2)時(shí),f′(x)<0,f(x)在(0,2)上遞減,
當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),f′(x)>0,f(x)在(0,2)上遞增,
∴f(x)在區(qū)間[0,+∞)上有極小值f(2)=$-\frac{1}{{e}^{2}}$,
∵f(0)=a=1,且$\underset{lim}{x→∞}f(x)$=$\underset{lim}{x→∞}\frac{1-x}{{e}^{x}}$<0,
∴f(x)在區(qū)間[0,+∞)上有最大值f(0)=a=1,成立;
(2)當(dāng)a>1時(shí),由f′(x)=0得x=2或$\frac{a}{1-a}$<0,
∴當(dāng)x∈(0,2)時(shí),f′(x)<0,f(x)在(0,2)上遞減,
當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),f′(x)>0,f(x)在(2,+∞)上遞增,
∴f(x)在區(qū)間[0,+∞)上有極小值f(2)=$-\frac{1}{{e}^{2}}$,
∵f(0)=a>1,且$\underset{lim}{x→∞}f(x)$=$\underset{lim}{x→∞}\frac{(1-a){x}^{2}-a(x-1)}{{e}^{x}}$<1,
∴f(x)在區(qū)間[0,+∞)上有最大值f(0)=a,成立;
(3)當(dāng)a<1時(shí),由f′(x)=0得x=2或$\frac{a}{1-a}$,
①當(dāng)a=$\frac{2}{3}$時(shí),有2=$\frac{a}{1-a}$,f′(x)<0,則f(x)在區(qū)間[0,+∞)上遞減,
∴f(x)在區(qū)間[0,+∞)上的最大值是f(0)=a,成立,
②當(dāng)$\frac{2}{3}<a<1$時(shí),有2<$\frac{a}{1-a}$,
當(dāng)x∈(2,$\frac{a}{1-a}$)時(shí),f′(x)>0,則f(x)在區(qū)間(2,$\frac{a}{1-a}$)上遞增,
當(dāng)x∈($\frac{a}{1-a}$,+∞)、(0,2)時(shí),f′(x)<0,則f(x)在區(qū)間($\frac{a}{1-a}$,+∞)、(0,2)上遞減,
∴f(x)在區(qū)間[0,+∞)上的極大值是f($\frac{a}{1-a}$)=$\frac{a}{{e}^{\frac{a}{1-a}}}$,
又f(0)=a,由題意得$\frac{a}{{e}^{\frac{a}{1-a}}}$≤a,解得0≤a<1,即$\frac{2}{3}<a<1$成立,
③當(dāng)$a<\frac{2}{3}$時(shí),有2>$\frac{a}{1-a}$,
當(dāng)x∈($\frac{a}{1-a}$,2)時(shí),f′(x)>0,則f(x)在區(qū)間($\frac{a}{1-a}$,2)上遞增,
當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),f′(x)<0,則f(x)在區(qū)間(2,+∞)上遞減,
∴f(x)在區(qū)間[0,+∞)上的極大值是f(2)=$\frac{4(1-a)-2a+a}{{e}^{2}}$=$\frac{4-5a}{{e}^{2}}$,
又f(0)=a,由題意得$\frac{4-5a}{{e}^{2}}$≤a,解得a≥$\frac{4}{{e}^{2}+5}$,即$a∈[\frac{4}{{e}^{2}+5},\frac{2}{3})$,
綜上可得,a的取值范圍是$[\frac{4}{{e}^{2}+5},+∞)$,
故選:D.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、最值的關(guān)系,考查分類討論思想和極限思想的應(yīng)用,屬于難題.
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設(shè)為拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn),且線段的長(zhǎng)為6,為線段的中點(diǎn),則點(diǎn)到軸的最短距離為 .
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(1)求函數(shù)的解析式及定義域;
(2)若對(duì)任意的恒成立,求取值范圍.
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A. | a>0,b>0,c>0,d>0 | B. | a>0,b>0,c<0,d>0 | C. | a>0,b<0,c<0,d>0 | D. | a>0,b<0,c>0,d>0 |
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A. | 充分不必要條件 | B. | 必要不充分條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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A. | (-∞,1) | B. | (-∞,1] | C. | (1,+∞) | D. | [1,+∞) |
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