Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax+a（a∈R），其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；
（2）函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交于A（x1 ， 0），B（x2 ， 0）兩點(diǎn)，x1＜x2 ， 點(diǎn)C在函數(shù)y=f（x）的圖象上，且△ABC為等腰直角三角形，記 ，求at﹣（a+t）的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=ex﹣ax+a，f'（x）=ex﹣a，

①當(dāng)a≤0時，則f'（x）＞0，則函數(shù)f（x）在（﹣∞，+∞）是單調(diào)增函數(shù)．

②當(dāng)a＞0時，令f'（x）=0，則x=lna，

若x＜lna，f'（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，lna）上是單調(diào)減函數(shù)；

若x＞lna，f'（x）＞0，所以f（x）在（lna，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．

（2）解：由（1）可知當(dāng)a＞0時，函數(shù)y=f（x）其圖象與x軸交于兩點(diǎn)，則有 ，則 ，則xi＞1（i=1，2）．

于是 ，在等腰三角形ABC中，顯然C=90°，所以 ，即y0=f（x0）＜0，

由直角三角形斜邊的中線性質(zhì)，可知 ，

所以 ，即 ，

所以 ，

即 ．

因?yàn)閤1﹣1≠0，則 ，

又 ，所以 ，

即 ，則（a﹣1）（t﹣1）=2．

所以at﹣（a+t）=1．

【解析】（1）求導(dǎo)，分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求得f（x）的單調(diào)性區(qū)間；（2）由題意可知：C=90°，則 ，即y0=f（x0）＜0，然后得到關(guān)于參數(shù)a的方程 ，則 ，則（a﹣1）（t﹣1）=2．即可求得at﹣（a+t）=1．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題．