Question

8．設函數f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-ax，其中a≥1，求函數f（x）在[a，+∞）上的最值．

Answer 1

分析 求得f（x）的導數，由a≥1，考慮x＞0時，0＜$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$＜1，可得f（x）在（0，+∞）遞減，即有函數f（x）在[a，+∞）上遞減，可得f（x）的最值．

解答 解：函數f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-ax的導數為g′（x）=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$•2x-a
=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$-a，
當x＞0時，由0＜$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$＜1，可得0＜$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$＜1，
由a≥1，可得$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$-a＜0，
則f（x）在（0，+∞）遞減，
即有函數f（x）在[a，+∞）上遞減，
則f（x）的最大值為f（a）=$\sqrt{{a}^{2}+1}$-a²，無最小值．

點評 本題考查函數的最值的求法，注意運用導數判斷單調性，考查運算能力，正確求導是解題的關鍵，屬于中檔題．