Question

已知= (x∈R)在［-1,1］上是增函數(shù).

       (1)求實(shí)數(shù)a的值所組成的集合A;

       (2)設(shè)關(guān)于x的方程=的兩根為x₁、x₂,試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對(duì)任意a∈A及?t∈?［-1,1］恒成立？若存在，求出m的范圍;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

      

Answer 1

解析：(1)f′(x)=,?

       ∵在［-1,1］上是增函數(shù)，∴≥0對(duì)x∈［-1,1］恒成立，即x²-ax-2≤0.對(duì)x∈［-1,1］恒成立.?

       設(shè)φ(x)=x²-ax-2,.?

       ∵對(duì)x∈［-1,1］，是連續(xù)函數(shù)，且當(dāng)a=1時(shí)，f′(-1)=0以及當(dāng)a=-1時(shí)f′(1)=0.  ∴A={a|-1≤a≤1}.?

       (2)由=,得x²-ax-2=0.?

       ∵Δ=a²+8>0,∴x₁、x₂是方程x²-ax-2=0的兩實(shí)根.?

       ∴

       從而|x₁-x₂|=.?

       ∵-1≤a≤1,∴|x₁-x₂|=≤3.?

       要使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對(duì)任意a∈A及t∈［-1,1］恒成立.?

       當(dāng)且僅當(dāng)m²+tm+1≥3對(duì)任意t∈［-1,1］恒成立，即m²+tm-2≥0對(duì)任意t∈［-1,1］恒成立.?

       設(shè)g(t)=m²+tm-2=mt+(m²-2),?

       .?

       所以存在實(shí)數(shù)m使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對(duì)任意a∈A及t∈［-1,1］恒成立，其取值范圍是{m|m≥2或m≤-2}.