【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面△ABC是等邊三角形,側(cè)面AA1B1B為正方形,且AA1⊥平面ABC,D為線段AB上的一點(diǎn).
(Ⅰ)若BC1∥平面A1CD,確定D的位置,并說明理由;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求二面角A1D﹣C﹣BC1的余弦值.

【答案】解:(Ⅰ)D為AB的中點(diǎn),理由如下:

連接AC1,交A1C于點(diǎn)E,可知E為AC1的中點(diǎn),連接DE,

因?yàn)锽C1∥平面A1CD,

平面ABC1∩平面A1CD=DE,

所以BC1∥DE,

故D為AB的中點(diǎn).

(Ⅱ)不妨設(shè)AB=2,分別取BC,B1C1的中點(diǎn)O,O1,連接AO,OO1,可知OB,OO1,OA兩兩互相垂直,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz.

,

,

設(shè)面A1CD的法向量m=(x,y,z),

令x=1,得A1CD的一個(gè)法向量為 ,

又平面BCC1的一個(gè)法向量n=(0,0,1),

設(shè)二面角A1D﹣C﹣BC1的平面角為α,

即該二面角的余弦值為


【解析】(Ⅰ)D為AB的中點(diǎn),理由如下:連接AC1,交A1C于點(diǎn)E,可知E為AC1的中點(diǎn),連接DE,利用線面平行的性質(zhì)定理、三角形中平行線的性質(zhì)即可得出.(Ⅱ)不妨設(shè)AB=2,分別取BC,B1C1的中點(diǎn)O,O1,連接AO,OO1,可知OB,OO1,OA兩兩互相垂直,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz.利用線面垂直的性質(zhì)定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系可得:平面A1CD的法向量 ,又平面BCC1的一個(gè)法向量 =(0,0,1),利用向量夾角公式即可得出.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】下列說法不正確的是(
A.若“p且q”為假,則p,q至少有一個(gè)是假命題
B.命題“x∈R,x2﹣x﹣1<0”的否定是““x∈R,x2﹣x﹣1≥0”
C.當(dāng)a<0時(shí),冪函數(shù)y=xa在(0,+∞)上單調(diào)遞減
D.“φ= ”是“y=sin(2x+φ)為偶函數(shù)”的充要條件

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【題目】某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x(單位:百萬元)與銷售額y(單位:百萬元)之間有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系:

x/百萬元

2

4

5

6

8

y/百萬元

30

40

60

50

70

(1)假定y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系,求其回歸直線方程;

(2)若實(shí)際的銷售額不少于60百萬元,則廣告費(fèi)支出應(yīng)不少于多少?

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【題目】設(shè)是異面直線,則以下四個(gè)命題:①存在分別經(jīng)過直線的兩個(gè)互相垂直的平面;②存在分別經(jīng)過直線的兩個(gè)平行平面;③經(jīng)過直線有且只有一個(gè)平面垂直于直線;④經(jīng)過直線有且只有一個(gè)平面平行于直線,其中正確的個(gè)數(shù)有( )

A. B. C. D.

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【題目】如圖,在底面為直角梯形的四棱錐, 平面,.

(1)求證: 平面;

(2)求二面角的大小.

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【題目】已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的圖象過點(diǎn)B(0,﹣1),且在( , )上單調(diào),同時(shí)f(x)的圖象向左平移π個(gè)單位之后與原來的圖象重合,當(dāng)x1 , x2∈(﹣ ,﹣ ),且x1≠x2時(shí),f(x1)=f(x2),則f(x1+x2)=(
A.﹣
B.﹣1
C.1
D.

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【題目】如圖,某市準(zhǔn)備在道路的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)比賽道,賽道的前一部分為曲線段,該曲線段是函數(shù), 時(shí)的圖象,且圖象的最高點(diǎn)為.賽道的中間部分為長千米的直線跑道,且.賽道的后一部分是以為圓心的一段圓弧.

(1)的值和的大;

(2)若要在圓弧賽道所對(duì)應(yīng)的扇形區(qū)域內(nèi)建一個(gè)“矩形草坪”,矩形的一邊在道路上,一個(gè)頂點(diǎn)在半徑上,另外一個(gè)頂點(diǎn)在圓弧上,且,求當(dāng)“矩形草坪”的面積取最大值時(shí)的值.

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(1)求顧客年齡的眾數(shù),中位數(shù),平均數(shù)(每一組數(shù)據(jù)用中點(diǎn)做代表);
(2)用樣本數(shù)據(jù)的頻率估計(jì)總體分布中的概率,則從全部顧客中任取3人,記隨機(jī)變量X為顧客中年齡小于25歲的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列以及數(shù)學(xué)期望.

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(Ⅱ) 上的兩點(diǎn),若四邊形 . 的對(duì)角線 ,求四邊形 面積的最大值.

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