Question

已知四邊形ABCD是空間四邊形，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)
（1）求證：EFGH是平行四邊形
（2）若BD=2

3

，求異面直線AC、BD所成的角和EG、BD所成的角．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，從而EH∥FG，EH=FG，由此能證明四邊形EFGH是平行四邊形．
（2）由條件可知AC與BD所成的角為∠EHG，連接EG，由勾股定理得AC與BD所成的角為90°．
②EG、BD所成的角為∠GEH，在Rt△EHG中，sin∠GEH=

HG

EG

=

1

2

，由此能求出EG、BD所成的角為30°．

解答： （本題14分）
（1）證明：在△ABD中，∵E、H分別是AB，AD的中點(diǎn)，
∴EH∥BD，EH=

1

2

BD，
同理，F(xiàn)G∥BD，F(xiàn)G=

1

2

BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．
（2）解：①由條件可知AC與BD所成的角為∠EHG，
連接EG，∵EH=

1

2

BD=

3

，HG=

1

2

AC=1，EG=2
在△EGH中，EH²+GH²=4=EG²，
∴EH⊥HG，即AC與BD所成的角為90°．
②EG、BD所成的角為∠GEH，在Rt△EHG中，
Sin∠GEH=

HG

EG

=

1

2

，
∴∠GEH=30°，
∴EG、BD所成的角為30°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查四邊形是平行四邊形的證明，考查異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．