Question

【題目】已知函數(shù)， ．

（）求的單調(diào)區(qū)間．

（）證明：當(dāng)時(shí)，方程在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)．

（）設(shè)，其中若恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（）的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．（）見解析;（）．

【解析】試題分析：（）求導(dǎo)得，可得的單調(diào)區(qū)間.

（）設(shè)， ，由（）可知在，上單調(diào)遞增，且， ，可得證.

（）恒成立即函數(shù)的最小值為 ，利用導(dǎo)數(shù)可求得，

整理可得，解得.

試題解析：（）由已知，

令，

則，令，

則，

故的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．

（）設(shè)， ，

則，

由（）可知在，上單調(diào)遞增，

且， ，

∴在上只有個(gè)零點(diǎn)，

故當(dāng)，方程在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)．

（）， ， 的定義域是，

，

令，

則，

由（）得，在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)，

且是增函數(shù)，不妨設(shè)的零點(diǎn)是，

則當(dāng)時(shí)， ，

即， 單調(diào)遞減．

當(dāng)時(shí)， ，

即， 單調(diào)遞增，

∴函數(shù)的最小值為 ，

由，得，

故，

根據(jù)題意，

即，解得，

故實(shí)數(shù)的取值范圍是．