【答案】
分析:(Ⅰ)設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo),利用動點(diǎn)P到定點(diǎn)O距離與到定點(diǎn)A的距離的比值是
,建立方程,化簡即可得到動點(diǎn)P的軌跡方程,從而可得方程表示的曲線;
(Ⅱ)當(dāng)λ=4時,確定動點(diǎn)P的軌跡方程.
①確定兩圓內(nèi)含,且圓D在圓E內(nèi)部.由|MN|
2=|MD|
2-|DN|
2有:|MN|
2=|MD|
2-4,故求|MN|的取值范圍就是求|MD|的取值范圍;
②解法一:設(shè)點(diǎn)Q到直線FG的距離為d,∠FQG=θ,由面積相等得到頂點(diǎn)Q到動直線FG的距離為定值,從而可得結(jié)論;
解法二:假設(shè)存在,設(shè)出直線方程,利用直線與圓相切,得出圓心到直線的距離等于半徑,即可得到結(jié)論.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則由
,得λ(x
2+y
2)=(x-3)
2+y
2,
整理得:(λ-1)x
2+(λ-1)y
2+6x-9=0.
∵λ>0,∴當(dāng)λ=1時,則方程可化為:2x-3=0,故方程表示的曲線是線段OA的垂直平分線;
當(dāng)λ≠1時,則方程可化為
,即方程表示的曲線是以
為圓心,
為半徑的圓.…5分
(Ⅱ)當(dāng)λ=4時,曲線D的方程是x
2+y
2+2x-3=0,故曲線D表示圓,圓心是D(-1,0),半徑是2.
①由
,及5<8-2有:兩圓內(nèi)含,且圓D在圓E內(nèi)部.
如圖所示,由|MN|
2=|MD|
2-|DN|
2有:|MN|
2=|MD|
2-4,故求|MN|的取值范圍就是求|MD|的取值范圍.
而D是定點(diǎn),M是圓上的動點(diǎn),故過D作圓E的直徑,得|MD|
min=8-5=3,|MD|
max=8+5=13,故5≤|MN|
2≤165,
.…9分
②解法一:設(shè)點(diǎn)Q到直線FG的距離為d,∠FQG=θ,
則由面積相等得到|QF|•|QG|sinθ=d|FG|,且圓的半徑r=2.
即
.于是頂點(diǎn)Q到動直線FG的距離為定值,
即動直線FG與定圓(x+3)
2+y
2=1相切.
②解法二:設(shè)F,G兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為F(x
1,y
1),G(x
2,y
2),
則由|QF|•|QG|=4有:
,結(jié)合
有:
,
若經(jīng)過F、G兩點(diǎn)的直線的斜率存在,設(shè)直線FG的方程為y=mx+n,
由
,消去y有:(1+m
2)x
2+(2mn+2)x+n
2-3=0,則
,
,
所以
,
由此可得8m
2-6mn+n
2=1,也即(3m-n)
2=1+m
2,
…(※).
假設(shè)存在定圓(x-a)
2+(y-b)
2=r
2,總與直線FG相切,則
是定值r,即d與m,n無關(guān),與
…(※)對比,有
,
此時
,故存在定圓(x+3)
2+y
2=1,
當(dāng)直線FG的斜率不存在時,x
1=x
2=-2,直線FG的方程是x=-2,顯然和圓相切.
故直線FG能恒切于一個定圓(x+3)
2+y
2=1.…14分.
點(diǎn)評:本題考查軌跡方程,考查圓與圓、直線與圓的位置關(guān)系,考查探索性問題,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.