Question

20．若數列{a_n}滿足${a_1}•{a_2}•{a_3}…{a_n}={n^2}+3n+2$，則a₄=$\frac{3}{2}$，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{6，n=1}\\{\frac{n+2}{n}，n＞1}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 在原數列遞推式中，取n為n-1得另一遞推式，作商后求得數列的通項公式和a₄的值．

解答 解：數列{a_n}滿足${a_1}•{a_2}•{a_3}…{a_n}={n^2}+3n+2$，
當n=1時，a₁=1+3+2=6；
當n＞1時，a₁•a₂•a₃…a_n-1=（n-1）²+3（n-1）+2=n²+n-2；
所以a_n=$\frac{{n}^{2}+3n+2}{{n}^{2}+n}$=$\frac{n+2}{n}$；
所以a₄=$\frac{4+2}{4}$=$\frac{3}{2}$，
a_n=$\left\{\begin{array}{l}{6，n=1}\\{\frac{n+2}{n}，n＞1}\end{array}\right.$．
故答案為：$\frac{3}{2}$，$\left\{\begin{array}{l}{6，n=1}\\{\frac{n+2}{n}，n＞1}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了數列遞推式以及由數列遞推式求數列通項公式的問題，屬中檔題．