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17.已知向量a=(1+sin2x,sinx-cosx),=(1,sinx+cosx),函數(shù)f(x)=a
(1)求f(x)的最大值及相應的x的值;
(2)若f(θ)=85,求sin4θ的值.

分析 (1)運用向量數(shù)量積的坐標表示,以及二倍角公式、兩角差的正弦公式,化簡f(x),再由正弦函數(shù)的最值,即可得到所求;
(2)由(1)可得sin2θ-cos2θ=35,兩邊平方,結(jié)合二倍角的正弦公式,化簡即可得到所求值.

解答 解:(1)向量a=(1+sin2x,sinx-cosx),=(1,sinx+cosx),
函數(shù)f(x)=a=1+sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cosx)
=1+sin2x-(cos2x-sin2x)=1+sin2x-cos2x
=1+2sin(2x-\frac{π}{4}),
則當2x-\frac{π}{4}=2kπ+\frac{π}{2},即x=kπ+\frac{3}{8}π,k∈Z時,f(x)取得最大值為1+\sqrt{2};
(2)f(θ)=1+sin2θ-cos2θ=\frac{8}{5},
即有sin2θ-cos2θ=\frac{3}{5}
兩邊平方可得(sin2θ-cos2θ)2=\frac{9}{25},
即sin22θ+cos22θ-2sin2θcos2θ=\frac{9}{25}
1-sin4θ=\frac{9}{25},
則sin4θ=\frac{16}{25}

點評 本題考查三角函數(shù)的求值,考查恒等變換公式的運用,同時考查向量數(shù)量積的坐標表示,考查運算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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