Question

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn).若原點(diǎn)在以線段為直徑的圓內(nèi),
求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

(Ⅰ) 橢圓的方程為
(Ⅱ)

(I)因?yàn)閎=1,所以根據(jù)離心率可建立關(guān)于m的方程，求出m值，進(jìn)而確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.
依題意,可知,且,
所以,
所以,即橢圓的方程為.  ………………5分
（II）解本小題的突破口是設(shè),則原點(diǎn)在以線段為直徑的圓內(nèi)
等價(jià)于說(shuō)(三點(diǎn)不共線)，也就等價(jià)于說(shuō),即.然后再把直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，借助韋達(dá)定理及判別式來(lái)解決即可.
設(shè),則原點(diǎn)在以線段為直徑的圓內(nèi)
等價(jià)于說(shuō)(三點(diǎn)不共線)
也就等價(jià)于說(shuō),即…① ……………7分
聯(lián)立,得,
所以,即……②
且………………………10分
于是
代入①式得,,即適合②式……………12分
又,所以解得即求. …………………13分