Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=BC₁=2，∠AA₁C₁=60°，平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，AC₁與A₁C相交于點D．
（1）求證：BD⊥平面AA₁C₁；
（2）（理）設(shè)點E是直線B₁C₁上一點，且DE∥平面AA₁B₁B，求平面EBD與平面ABC₁夾角的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出BD⊥AC₁，由此能夠證明BD⊥平面AA₁C₁C．
（2）以D為原點，以DA₁，DA，DB所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面EBD與平面ABC₁夾角的余弦值．

解答： （1）證明：由已知得側(cè)面AACC是菱形，D是AC₁的中點，
∵AB=AC=AA₁=BC₁=2，AC₁與A₁C相交于點D，
∴BD⊥AC₁，∵平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，且BD不包含于平面ABC₁，
平面ABC₁∩平面AA₁C₁C=AC₁，
∴BD⊥平面AA₁C₁C．
（2）（理）解：設(shè)點F是A₁C₁的中點，∵點D是AC₁的中點，∴DF∥平面AA₁B₁B，
又∵DE∥平面AA₁B₁B，∴平面DEF∥平面AA₁B₁B，
又平面DEF∩平面A₁B₁C₁=EF，平面AA₁B₁B∩平面A₁B₁C₁=A₁B₁，
∴EF∥A₁B₁，∴點E是B₁C₁的中點．
如圖，以D為原點，以DA₁，DA，DB所在直線分別為x軸，y軸，z軸，
建立空間直角坐標系．
由已知得AC₁=2，AD=1，BD=A₁D=DC=

3

，BC=

6

∴D(0，0，0)，A(0，1，0)，A1(

3

，0，0)，B(0，0，

3

)，C1(0，-1，0)
設(shè)平面EBD的一個法向量是

m

=(x，y，z)，
由

m

⊥

DB

，得

3

z=0⇒z=0，
又

DE

=

1

2

(

DC1

+

DB1

)=

1

2

(

DC1

+

DB

+

AA1

)
=(

3

2

，-1，

3

2

)，
由

m

⊥

DE

⇒(x，y，z)•(

3

2

，-1，

3

2

)=0
得

3

2

x-y=0，
令x=1，得y=

3

2

，∴

m

=(1，

3

2

，0)，
∵平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，DA₁⊥AC₁，∴DA₁⊥平面ABC₁
∴平面ABC₁的一個法向量是

DA1

=(

3

，0，0)，
∵cos＜

m

，

DA1

＞=

3

1+ 3 4 × 3

=

2 7

7

，
∴平面EBD與平面ABC₁夾角的余弦值是

2 7

7

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．