Question

（本小題滿分15分）

如圖，已知橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、。點(diǎn)為直線上且不在軸上的任意一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為、和、，為坐標(biāo)原點(diǎn).

       （I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

       （II）設(shè)直線、的斜線分別為、.

              （i）證明：；

              （ii）問(wèn)直線上是否存在點(diǎn)，使得直線、、、的斜率、、、滿足？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

（Ⅰ）解：因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)（1，），，所以，，

又， 所以，，故所求橢圓方程為

（Ⅱ）（i）解：方法一：由于、，、的斜率分別為、，且點(diǎn)P不在軸上，所以，，，又直線、的方程分別為，，聯(lián)立方程解得，所以P（，），由于點(diǎn)P在直線上，所以，因此即，結(jié)論成立。

方法二：設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)P不在軸上，所以

又所以 因此結(jié)論成立。

（ii）解：設(shè)，，，，

聯(lián)立直線與橢圓的方程得，化簡(jiǎn)得，

因此，由于OA，OB的斜率存在，所以，，因此，1因此

。

相似地可以得到，，因此，1，

故

若，須有或，

①當(dāng)時(shí)，結(jié)合（i）的結(jié)論，可得，所以解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0,2）；

②當(dāng)時(shí)，結(jié)合（i）的結(jié)論，解得或（此時(shí)，不滿足，舍去），此時(shí)直線CD的方程為，聯(lián)立方程得，。

因此P（）。

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為（0,2），（）。