Question

【題目】在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，曲線(xiàn)C的方程為；以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，斜率為的直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M．

(I)求直線(xiàn)l和曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程：

(II)若P為曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)，直線(xiàn)l和曲線(xiàn)C相交于A，B兩點(diǎn)，求△PAB面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）直線(xiàn)方程為y=﹣x+3，曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；（2）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式得到直線(xiàn)方程為y=﹣x+3，曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；（2）由圖像的到圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)L的距離最大值為，再計(jì)算弦長(zhǎng)即三角形的底邊長(zhǎng)，進(jìn)而得到面積。

解析：

（1）∵在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，

∴x=3cos=0，y=3sin=3，

∴點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（0，3），

∴直線(xiàn)方程為y=﹣x+3，

由，得ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，

∴曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2﹣2x﹣2y=0，

即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2

（2）圓心（1，1）到直線(xiàn)y=﹣x+3的距離，

∴圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)L的距離最大值為，

而弦

∴△PAB面積的最大值為。