如圖,在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別為棱AB和BC的中點(diǎn),EF交BD于H.
(1)求二面角B1-EF-B的正切值;
(2)試在棱B1B上找一點(diǎn)M,使D1M⊥平面EFB1,并證明你的結(jié)論;
(3)求點(diǎn)D1到平面EFB1的距離.
分析:(1)連AC、B1H,根據(jù)二面角平面角的定義可知∠B1HB為二面角B1-EF-B的平面角,在Rt△B1HB中求出此角的正切值即可;
(2)在棱B1B上取中點(diǎn)M,連D1M、C1M,欲證D1M⊥平面EFB1,根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證D1M與平面EFB1內(nèi)兩相交直線垂直,而EF⊥D1M,B1F⊥D1M,滿足定理?xiàng)l件;
(3)設(shè)D1M與平面EFB1交于點(diǎn)N,則D1N為點(diǎn)D1到平面EFB1的距離,在Rt△MB1D1中利用射影定理求出D1N即可.
解答:解:(1)連AC、B1H,則EF∥AC,
∵AC⊥BD,所以BD⊥EF.
∵B1B⊥平面ABCD,所以B1H⊥EF,
∴∠B1HB為二面角B1-EF-B的平面角.(2分)
Rt△B1BH中,B1B=a,BH=
2
4
a.

tan∠B1HB=
B1B
BH
=2
2

故二面角B1-EF-B的正切值為2
2
(4分)

(2)在棱B1B上取中點(diǎn)M,連D1M、C1M.
∵EF⊥平面B1BDD1
所以EF⊥D1M.(6分)
在正方形BB1C1C中,因?yàn)镸、F分別為BB1、BC的中點(diǎn),
∴B1F⊥C1M(8分)
又因?yàn)镈1C1⊥平面BCC1B1,所以B1F⊥D1C1
所以B1F⊥D1M,
∴D1M⊥平面EFB1(10分)

(3)設(shè)D1M與平面EFB1交于點(diǎn)N,則D1N為點(diǎn)D1到平面EFB1的距離.(11分)
在Rt△MB1D1中,D1B12=D1N•D1M(12分)
D1B1=
2
a,D1M=
3
2
a
,
所以D1N=
D1
B
2
1
D1M
=
4
3
a
,
故點(diǎn)D1到平面EFB1的距離為
4
3
a.
(14分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了二面角及其度量,以及點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算和直線與平面垂直的判定,考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力,屬于中檔題.
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A.
B.
C.
D.

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