（本題滿分12分）已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為.

  （Ⅰ）求橢圓的方程；

  （Ⅱ）為橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于

的動(dòng)點(diǎn)，直線分別交直線于兩點(diǎn).證明：恒為定值.

 

【答案】

（Ⅰ）. （Ⅱ）為定值.證明見解析。

【解析】本試題主要是考出了橢圓方程的求解，橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用的綜合考查，體現(xiàn)了運(yùn)用代數(shù)的方法解決解析幾何的本質(zhì)的運(yùn)用。

（1）首先根據(jù)題意的幾何性質(zhì)來表示得到關(guān)于a,b,c的關(guān)系式，從而得到其橢圓的方程。

（2設(shè)出直線方程，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，點(diǎn)斜式得到AP的方程，然后聯(lián)立方程組，可知借助于韋達(dá)定理表示出長度，進(jìn)而證明為定值。

（Ⅰ）解：由題意可知，，，

解得.        …………4分

所以橢圓的方程為.     …………5分

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知,，.設(shè)，依題意，

于是直線的方程為，令，則.

即.               …………7分

又直線的方程為，令，則，

即.               …………9分

 …………11分

又在上，所以,即，代入上式，

得,所以為定值.          …………12分

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知橢圓：的長軸長是短軸長的倍，，是它的左，右焦點(diǎn)．

（1）若，且，，求、的坐標(biāo)；

（2）在（1）的條件下，過動(dòng)點(diǎn)作以為圓心、以1為半徑的圓的切線（是切點(diǎn)），且使，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．

 

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（1）求橢圓的離心率

（2）設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，分別是左右焦點(diǎn)，求的取值范圍

 

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