Question

橢圓C：，雙曲線兩漸近線為l₁、l₂，過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l，使l⊥l₁，又設(shè)l與l₂交于點(diǎn)P，l與C兩交點(diǎn)自上而下依次為A、B；
（1）當(dāng)l₁與l₂夾角為，雙曲線焦距為4時(shí)，求橢圓C的方程及其離心率；
（2）若=λ，求λ的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接由l₁與l₂夾角為，雙曲線焦距為4時(shí)列出關(guān)于a，b，c的方程，再結(jié)合a，b，c之間的關(guān)系，求出a，b，c，即可求橢圓C的方程及其離心率；
（2）先聯(lián)立l與l₂求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)=λ，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；由點(diǎn)A在橢圓上，即可得到關(guān)于λ與e之間的等量關(guān)系，最后結(jié)合e的取值范圍以及函數(shù)求最值的方法即可求λ的最小值．
解答：解：（1）由l₁與l₂夾角為知，=tan=…（1分）
又焦距為4∴a=，b=1 
∴橢圓C：=1，
e==．…（3分）
（2）不妨設(shè)，  則l：y=-
聯(lián)立：⇒P（）
 由得，
又點(diǎn)A橢圓上，∴
    整理得λ²=…（7分）
∴λ²==（e²-2）++3
∵0＜e＜1∴-2＜e²-2＜-1   
∴-3＜（e²-2）+≤-2
∴0＜λ²≤3-2．
 由題知，λ＜0∴1-≤λ＜0 …（9分）
所以，λ的最小值為1-．…（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．第二問(wèn)涉及到用基本不等式求函數(shù)的值域，在用基本不等式求函數(shù)的值域時(shí)，要注意其適用的三個(gè)限制條件：①均為正數(shù)，②積（或）和為定值，③等號(hào)成立時(shí)變量有意義．
所以在第二問(wèn)用基本不等式求函數(shù)的值域時(shí)，須注意把其轉(zhuǎn)化為正數(shù)再求解．